复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结

第四章 解析函数的幂级数表示法1.复级数的基本性质n=1n=1+2+n+fz=n=1fn(z)1.（定理4.1）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。2.（定理4.2）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的0，存在正整数N()，当nN且p为任何正整数时，|n+1+n+2+n+p|0以及给定的zE，存在正整数N=N(,z)，当nN时，有fz-snz0，存在正整数N=N()，使当nN时，对一切zE，均有|fn+1(z)+fn+2(z)+fn+p(z)|8.（定理4.5 不一致收敛准则）：9.（优级数准则）：如果有正数列Mn，使对一切zE，有|fn(z)| Mn，且正项级数n=1Mn收敛 复级数n=1fn(z)在集E上绝对收敛且一致收敛。10.优级数定义：n=1Mn称为n=1fn(z)的优级数。11.（定理4.6）级数n=1fn(z)各项在点集E上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数fz=n=1fn(z)也在E上连续。12.（定理4.7 积分求和符号可交换）级数n=1fn(z)的各项在曲线C上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C可逐项积分Cfzdz=n=1Cfnzdz13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛14.（定理4.8）n=1fn(z)在圆K：|z-a|R内闭一致收敛的充要条件：对任意正整数，只要R，级数n=1fn(z)在闭圆K:z-a上一致收敛。15.（定理4.9 魏尔斯特拉斯定理）：设（1）函数n=1fn(z) (n=1,2,)在区域D内解析；（2）n=1fn(z)在D内内闭一致收敛于函数f(z):fz=n=1fn(z)则：（1）f(z)在D内解析；（2）f(p)z=n=1fn(p)(z)（3）n=1fn(p)(z)在D内内闭一致收敛于f(p)z2.幂级数n=0cn(z-a)n=c0+c1z-a+c2(z-a)2+1.（定理4.10 阿贝尔定理）：幂级数在某点z1(a)收敛 它必在圆K：|z-a|z1-a|（以a为圆心，圆周通过z1的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。2.（推论4.11）：幂级数在某点z2(a)发散 在以a为圆心，圆周通过z2的圆周外发散。3.收敛半径：圆周内部绝对收敛，圆周外部发散。4.（定理4.12 收敛半径R的求法 柯西-阿达马公式）：（不能缺项）如果幂级数n=0cn(z-a)n的系数cn满足：limncn+1cn=l或limnn|cn|=l或limnnn|cn|=l则幂级数n=0cn(z-a)n的收敛半径：R=1l, l0,l+0, l+ + , l=0注：上极限：收敛子数列的极限值的上确界值。5.例4.5：（4）n=03+4in(z-i)2n（缺项幂级数）6.（定理4.13）：（1）幂级数fz=n=0cn(z-a)n的和函数f(z)在其收敛圆K：|z-a|R（0R+）内解析；（2）在K内，幂级数fz=n=0cn(z-a)n可逐项求导至任意阶，且收敛半径相同；（3）cp=fp(a)p!（p=0,1,2,），即fpa=p!cp3.解析函数的泰勒展开式1.（定理4.14 泰勒定理）：设f(z)在区域D内解析，aD，只要圆K：|z-a|R含于D，则f(z)在K内能展成幂级数fz=n=0cn(z-a)n其中系数cn=12ipf()(-a)n+1d=fn(a)n!(p：| -a|=，0 R;n=0,1,2,)2.（定理4.15）函数f(z)在区域D内解析的充要条件：D内任一点a的邻域内可展开成z-a的幂级数，即泰勒级数3.柯西不等式：泰勒系数cn满足：cnmaxz-a=|f(z)|n（0 0，且fz=n=0cn(z-a)n在收敛圆周C：|z-a|R上至少有一奇点（不可能处处解析）注：找收敛半径=找最近奇点5.一些初等函数的泰勒展式：（1）ez（2）cosz（3）sinz（4）多值函数(ln(1+z)0，(ln(1+z)k（5）(1+z)例题：（1）将ez1-z在z=0展成泰勒级数（2）求z+i(i=1+i2)的展式4.解析函数零点的孤立性及唯一性定理1.m阶零点定义：，fna0，m=1称为单零点。注：泰勒展开第一项即为m阶导2.（定理4.17）：不恒为零的解析函数f(z)以a为m阶零点的充要条件为：fz=z-am(z)(z)在a的邻域内解析，且(a)03.（定理4.18）：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的4.（推论4.19）：设（1）函数f(z)在邻域K:|z-a|R内解析；（2）K内有f(z)的一列零点zn(zna)收敛于a， f(z)在K内必恒为零5.（定理4.20 唯一性定理）：（1）函数f1z，f2(z)在区域D内解析；（2）D内有一个收敛于aD的点列zn(zna)，其上f1z，f2(z)等值 f1z，f2(z)在D内恒等6.（推论4.21）设在区域内解析的函数f1z，f2(z)在D内的某一子区域（或一小段弧）上相等 f1z，f2(z)在D内恒等7.（推论4.22）一切在实轴上成立的恒等式，只要等式两边在z平面上都是解析的 等式在z平面上也成立8.（定理4.23 最大模原理 等价于最小模原理）：函数f(z)在D内解析 |f(z)|在D内任何点都不能达到最大值，除