湖南省株洲市2020届高三数学第二次教学质量检测（二模）试题 文（含解析）

株洲市2020届高三第二次教学质量统一检测文科数学一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义，找出集合M,N的公共元素即可。【详解】因为集合 ，所以 ，故选C.【点睛】本题考查集合的表示方法，交集的定义与运算，属于基础题。2.复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算，把复数化简为的形式，再求其共轭复数即可。【详解】 故选B.【点睛】对于复数的四则运算，要熟悉复数的相关基本概念，如复数 的实部为a,虚部为b，模为 ，对应点为(a,b),共轭复数为。3.如图，在边长为的正方形内有不规则图形，由电脑随机从正方形中抽取个点，若落在图形内和图形外的点分别为，则图形面积的估计值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据几何概型的概率公式进行估计即可得到结论【详解】解：设图形 的面积为S，由电脑随机从正方形中抽取个点，落在图形内和图形外的点分别为 , 故选A.【点睛】本题主要考查几何概型的应用，利用面积比之间的关系是解决本题的关键，比较基础4.已知向量，且，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出向量 的坐标，由 得 ，代入坐标求出k的值【详解】 由 得，。 故选A.【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，向量垂直的坐标表示，是基础题5.等差数列的公差为，若成等比数列，则的前项和（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由成等比数列，所以 ，又 ，解得： ，再利用求和公式即可得出【详解】解： 成等比数列，可得 ，又 ，化简得： ，则an的前10项和 故选：C【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6.执行如图的程序框图，则输出的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当 时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解【详解】解：模拟执行程序框图，可得.满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体， ；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体， ；观察规律可知，x的取值周期为3，由于，可得：满足条件，执行循环体，当 ,不满足条件，退出循环，输出x的值为2故选：D【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x的值是解题的关键7.某企业对其生产一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量（单位：克）的频率分布直方图如图所示.则该物质含量的众数和平均数分别为（ ）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图中最高小矩形得出众数落在第三组，从而求出众数的值，再根据每个小组的频率以及中间值求出频率分布直方图的平均数。【详解】解：根据频率分布直方图得出众数落在第三组 内，所以众数为 ；含量在之间的频率为0.1,含量在之间的频率为0.2,含量在之间的频率为0.4,根据概率和为1，可得含量在之间的频率为0.3，所以频率分布直方图的平均数为 。故选C.【点睛】本题考查频率分布直方图中众数和平均数的求法，属于基础题型。8.已知命题，命题，则下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导数和函数零点分别判断命题p,q的真假，从而判断出复合命题的真假即可。【详解】解：令 ，时， ，所以f(x)在 单调递增， ，p真；令 ， ， ，所以 在 恒成立，q假；故选C.【点睛】本题考查利用导数研究函数最值，复合命题真假的判断，属于中档题。9.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，分别求出柱体的底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案【详解】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，柱体的底面由一个边长为4的正方形和一个底边长为4，高为2的三角形组成，故柱体的底面面积S44+2420，由三视图可知h6故柱体的体积VSh120，故选：B【点睛】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积10.已知函数，给出下列四个结论：函数的最小正周期是函数在区间上是减函数函数的图像关于点对称函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到其中正确结论的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式对函数 化一，求解函数的周期判断的正误；利用函数的单调性判断的正误；利用函数ysinx的对称中心判断的正误；利用函数的图象的变换判断的正误；【详解】解： 因为2，则f（x）的最小正周期T，结论正确当时， ，y=sinx在上不是单调函数，结论错误因为f（）0，则函数f（x）图象的一个对称中心为 结论正确函数f（x）的图象可由函数ysin2x的图象向左平移个单位得到结论错误故正确结论有，故选B.【点睛】本题考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的周期性、对称性、单调性以及图象平移问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，属于中档题。11.已知抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为为抛物线的焦点，若，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设出M坐标，利用抛物线的定义以及双曲线方程，转化推出a，c关系，即可得到双曲线的离心率【详解】解：设M（m，n），则由抛物线的定义可得|MF|m+12，m1，n24， ，将点 代入双曲线的渐近线方程 ， ， ，故选：D【点睛】本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力12.如图，已知正方体的棱长为为棱的中点，为棱上的点，且满足，点为过三点的面与正方体的棱的交点，则下列说法错误的是（ ）A. B. 三棱锥的体积 C. 直线与面的夹角是D. 【答案】C【解析】【分析】利用平面与平面平行的性质判断A正误；通过等体积转换求解三棱锥 的体积判断B的正误；通过作面的垂线求线面角判断C的正误；通过三角形相似判断D的正误。【详解】解：A项:因为面AD1面BC1，且面AD1与面MBN的交线为FH，面BC1与面MBN的交线为BE，所以HFBE，A正确；B项： 同理， ,B正确；C项： ，所以 即为所求线面角， ，C错；D项： , ， D对。故选C.【点睛】本题考查面面平行的性质定理，等体积转换求解三棱锥的体积，线面角的求法，以及利用平行关系推导三角形相似进而利用相似比求线段长，比较综合，属于中档题。二、填空题（将答案填在答题纸上）13.曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】先对原函数求导，再令x=1解出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程。【详解】解：令 ， ，切线方程为 。故填： 。【点睛】本题主要考查导数的几何意义，应用导数求切线方程。14.若满足条件，则的最大值为_【答案】4【解析】【分析】先作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由 得，平移直线，由图象可知当直线 经过(2,0)时，直线的截距最大，此时z最大代入目标函数得 即目标函数的最大值为4，故填：4【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法15.设直线，与圆交于，且，则的值是_【答案】10或-30【解析】【分析】首先利用垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求出a即可。【详解】解：因为 ，圆心为，半径为r=5， ，由垂径定理得 ，所以圆心到直线的距离为4。 故填：10或-30.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交的垂径定理以及点到直线距离公式的应用。16.数列的前项和为 ，则数列的前项和_【答案】【解析】【分析】解： 两式作差，得 ，经过检验得出数列的通项公式，进而求得 的通项公式， 裂项相消求和即可。【详解】解：两式作差，得 化简得 ，检验：当n=1时， ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列； ，令 故填： 。【点睛】本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n项和，解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力。三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角所对的边分别为，且.（）求角；（）若为的中点，求的面积.【答案】（）（）【解析】【分析】（）利用正弦定理把边化角，利用B的正切值求角；（）先利用余弦定理解出BD，求出BC，再利用面积公式即可求解。【详解】（）（）设 解得： 【点睛】本题考查正余弦定理综合应用，利用正弦定理边角互化达到化简的目的，利用余弦定理求三角形的边，以及面积公式的应用，属于基础题。18.如图，四边形是矩形，平面平面（）求证：平面平面；（）若线与面的夹角正弦值为，求几何体的体积.【答案】（）见证明；（）【解析】【分析】（）由已知条件推导出 ,由此能证明面 ，从而得到平面 平面 ；（）作，通过 与面 夹角的正弦值求得 ，进而得到 的值，再利用锥体体积公式求出体积即可。【详解】（）证明：因为：四边形是矩形又因为：平面平面，面ABE 又因为：, , 面 又 面 所以：面 面（）作于F,连结 则为线DE与面ABCD的夹角易求： 【点睛】本题考查面面垂直判定定理的应用，已知线面角的三角函数值求线段长，以及锥体体积公式，作出面的垂线是解题关键。19.随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大.某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包.该通信公司选了人口规模相当的个城市采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价: (单位:元/月)和购买总人数(单位:万人)的关系如表:定价x（元/月）20305060年轻人（40岁以下）101578中老年人（40岁以及40岁以上）201532购买总人数y（万人）30301010（）根据表中的数据，请用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的回归方程;并估计元/月的流量包将有多少人购买?（）若把元/月以下(不包括元)的流量包称为低价流量包，元以上(包括元)的流量包称为高价流量包，试运用独立性检验知识，填写下面列联表，并通过计算说明是否能在犯错误的概率不超过的前提下，认为购买人的年龄大小与流量包价格高低有关?定价x（元/月）小于50元大于或等于50元总计年轻人（40岁以下）中老年人（40岁以及40岁以上）总计参考公式：其中 其中参考数据： 0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（）38万人（）见解析【解析】【分析】（）利用所给公式与参考数值即可求解回归方程，令 代入即可求出此时y的估计值；（）根据流量包定价和购买总人数的关系表中的数值填写列联表，代入 ，比较它与6.635的大小即可。【详解】（） ， 所以：关于回归方程是： 估计10元/月的流量包将有38万人购买； （）定价x（元/月） 小于50元 大于或等于50元 总计年轻人（40岁以下） 2515 40中老年人（40岁以及40岁以上）355 40 总 计 60 20 80 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为购买人的年龄大小与流量包价格高低有关。【点睛】本题考查线性回归方程的求法，利用回归方程进行预测，以及独立性检验的内容，侧重考查计算能力，属于基础题。20.已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得的线段的长度为.（）求椭圆的方程； （）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.【答案】（）（）见解析【解析】【分析】（）根据椭圆截直线所得的线段的长度为，可得椭圆过点 ，结合离心率即可求得椭圆方程；（）分类讨论：当直线的斜率不存在时，四边形的面积为 ； 当直线的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由 得 ，代入曲线C，整理出k，m的等量关系式，再根据 写出面积的表达式整理即可得到定值。【详解】()由解得 得椭圆的方程为. （）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为 当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程 ， 点到直线的距离是 由得因为点在曲线上，所以有整理得由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为由得, 故四边形面积是定值，其定值为【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线距离公式、面积计算公式、向量数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题21.已知函数 （）若，讨论函数的单调性；（）设，且有两个极值点，其中，求的最小值.（注：其中为自然对数的底数）【答案】（）见解析；（）最小值为.【解析】【分析】（）对函数 求导，对a分情况讨论即可确定的单调区间；（）先对 求导，令导数式等于0由韦达定理求出两个极值点的关系 ，所以，整理，构造关于 的函数 ，求导根据单调性确定最值即可。【详解】（）的定义域是，当时， 在，单调递增；在单调递减.当时，在单调递增.当时， 在，单调递增；在单调递减.（）， 由题意得方程的两根分别为，且所以，则 设，则当时，恒成立，所以在上单调递减，所以，即的最小值为.【点睛】本题考查导数的应用，根据导数求单调区间，函数的零点，以及构造函数求最值，考查学生的运算推理能力，属于难题。22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），现以原点为