高中数学 第十章第四节圆锥曲线与方程练习 北师大版选修2－1

高中数学 第十章第四节圆锥曲线与方程练习 北师大版选修21 (本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1曲线C的方程是yx(1x5)，则下列四点中在曲线C上的是()A(0,0) B.C(1,5) D(4,4)【解析】1x5，C、D中点的横坐标满足，又曲线上点的纵坐标与横坐标相等，故只有D满足【答案】D2定义运算：adbc，则符合条件0的点P(x，y)的轨迹方程为()A(x1)24y21B(x1)24y21C(x1)2y21 D(x1)2y21【解析】由定义运算adbc，0(x1)2(14y2)0.(x1)24y21，选A.【答案】A3已知定点A(2,0)，它与抛物线y2x上的动点P连线的中点M的轨迹方程是()Ay22(x1) By24(x1)Cy2x1 Dy2(x1)【解析】设P(x1，y1)，M(x，y)，则y12x1又M为AP中点，代入得(2y)22x2，即y2(x1)【答案】D4已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线的一支 D抛物线【解析】如图所示，由题知|PF1|PF2|2a，设椭圆方程：1(其中ab0)连结MO，由三角形的中位线可得：|F1M|MO|a(a|F1O|)，则M轨迹为以F1、O为焦点的椭圆【答案】B5下列说法正确的是()A在ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方程是x2B方程yx2(x0)的曲线是抛物线C已知平面上两定点A、B，动点P满足|PA|PB|AB|，则P点的轨迹是双曲线D第一、三象限角平分线的方程是yx【解析】选项A符合曲线与方程概念(1)曲线上所有点的坐标均是这个方程的解，不符合(2)以这个方程的解为坐标的点均是曲线上的点选项B符合(2)但不符合(1)选项C符合(2)但不符合(1)选项D符合(1)、(2)故选D.【答案】D6打开“几何画板”软件进行如下操作：用画图工具在工作区画一个大小适中的圆C(设圆心为C)；用取点工具分别在圆C上和圆C外各取一个点A、B；用构造菜单下对应命令作出线段AB的垂直平分线l；作出直线AC.假设直线AC与直线l相交，且交点设为P，当点B为定点，点A在圆C上运动时，点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆【解析】由作图及平面几何知识可得，PCPBPCPAAC或PBPCPAPCAC.从而点P到定点B、C的距离之差的绝对值是定长AC.由双曲线定义，得点P的轨迹是双曲线【答案】B二、填空题(每小题6分，共18分)7过抛物线y28x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过原点O作OMAB，垂足为M，则点M的轨迹方程是_【解析】设M(x，y)，OMAB，F(2,0)0(x，y)，(2x，y)x(2x)y20x2y22x0.【答案】x2y22x08与圆x2y24x0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是_【解析】若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线x2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x轴负半轴【答案】y28x(x0)或y0(x0)9ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C，且满足条件sin Csin Bsin A，则动点A的轨迹方程是_【解析】由正弦定理：，|AB|AC|BC|，且为双曲线右支【答案】1(x0且y0)三、解答题(共46分)10(15分)由拋物线y22x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连结顶点O与P的直线和连结焦点F与Q的直线交于R，求点R的轨迹方程【解析】设P(x1，y1)，R(x，y)，则Q，F，OP的方程为yx，FQ的方程为yy1，由得x1，y1，代入y22x，可得y22x2x.11(15分)已知椭圆C1：1(ab0)的离心率为，直线l：yx2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轴迹C2的方程【解析】(1)由e，得1e2；由直线l：xy20与圆x2y2b2相切，得|b|.所以，b，a所以椭圆的方程是1.(2)由条件，知|MF2|MP|.即动点M到定点F2的距离等于它到直线l1：x1的距离，由拋物线的定义得点M的轨迹C2的方程是y24x.12(16分)设mR，在平面直角坐标系中，已知向量a(mx，y1)，向量b(x，y1)，ab，动点M(x，y)的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；(2)已知m， 证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OAOB(O为坐标原点)，并求该圆的方程【解析】(1)因为ab.所以ab0，即(mx，y1)(x，y1)0，故mx2y210，即mx2y21.当m0时，该方程表示两条直线；当m1时，该方程表示圆；当m0且m1时，该方程表示椭圆；当m0时，该方程表示双曲线(2)当m=时，轨迹E的方程为+y2=1，设圆的方程为x2+y2=r2(0r1)，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以=r，即t2=r2(1+k2)因为OAOB，所以x1x2y1y20，即x1x2(kx1t)(kx2t)0，整理得(1k2)x1x