专题课件：数形结合思想

,数形结合思想,主讲-程晓,数形结合思想,1.集合及其运算.2.函数图象解决问题.3.三角函数图象及其应用.4.向量运算的有关问题.5.圆锥曲线及其相关元素的图形特征与定义间的内在联系.6.数学概念及数学表达式间的几何意义的应用.7.解析几何与立体几何问题中的数形结合.,1.已知0a1,则方程a|x|=|logax|的实数根的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个解析在同一坐标系下，画出函数y=a|x|，y=|logax|的图象，则图象有两个交点.,B,2.设数集M=x|mxm+，数集N=x|n-xn，且M，N都是集合x|0x1的子集，如果把b-a叫做集合x|axb的“长度”,那么集合MN的长度的最小值为（）A.B.C.D.解析由题意知.集合M的“长度”为，集合N的“长度”为，而集合x|0x1的“长度”为1；设线段AB=1，a，b可在线段AB上自由滑动，a，b重叠部分的长度即为MN.如图，显然当a，b各自靠近,AB两端时，重叠部分最短,其值为.答案C3.若奇函数f(x)在（0,+）上是增函数，又f(-3)=0，则x|xf(x)0等于（）A.x|x3或-3x0B.x|0x3或x-3C.x|x3或x-3D.x|0x3或-3x0解析由f(x)为奇函数且f(-3)=0，得f(3)=0.又f(x)在（0,+)上是增函数，据上条件做出满足题意的y=f(x)草图，,如图，如右图中找出f(x)与x异号的部分，可以看出xf(x)0的解集为x|0x3或-3x0.答案DA.B.C.D.解析由题意在坐标系下画出|x|+|y|1,的图象如右图阴影部分，若x=0时，|y|1,此时u=0;若x0时，变量可看成点A(0，3)与可行域内的点B连线斜率k的倒数,而k(-,-33,+),答案B,题型一代数问题“几何化”以形助数【例1】解由题意令所以x2+y2=16(0x4,0y4),其图象如右图所示，原式A=x+y其几何意义是直线在坐标轴上的截距，,则y=-x+A【探究拓展】在解答此类问题时，主要是通过对“数”的形式进行观察、分析，把“数”转成图形，再借助其几何意义，通过“换元”使问题得以顺利解答.,变式训练1解析则x2+y2=9,(x0,y0)，又A=x-y,所以A的几何意义是直线在x轴上的截距，其图形如图，则A.,题型二几何问题“代数化”以数助形【例2】设M是抛物线y=x2上的一点，若点M到直线l:4x-3y-8=0的距离d最小，求点M的坐标及距离d的最小值.解方法一设点M（m,m2）,方法二设过点M平行于直线l与抛物线相切的,直线方程为4x-3y+b=0,则整理得3x2-4x-b=0,由题意可知=42+12b=0,方法三如图所示,若想使抛物线上的点到直线l的距离最小，只需抛物线在点M处的切线与直线l平行即可,因为直线l的斜率为,抛物线的导数为y=2x,【探究拓展】在解答此类问题时，利用待定系数法设出抛物线上动点的坐标，利用二次函数求最值，是解决距离问题的重要方法；而利用直线平行求距离也是常规方法;利用导数求切线的斜率也是十分简单易行的好方法，这些方法是几种不同数学思想的应用,注意体会.,题型三“数”“形”互化，相得益彰【例3】已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，f（x）=f1（x）+f2（x）.（1）求函数f(x)的表达式；（2）证明：当a3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.（1）解由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1,f1（x）=x2.设(k0)，它的图象与直线y=x的交点分别为,由|AB|=8，得k=8,(2)证明方法一由f(x)=f(a),得.在同一坐标系内作出的大致图象，其中f2(x)的图象是位于第一、三象限的双曲线,f3(x)的图象是以(0,)为顶点，开口向下的抛物线.因此f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点，即f(x)=f(a)有一个负数解.又f2（2）=4，f3（2）=，,当a3时，f3(2)-f2(2)=a2+-80,当a3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f3(2)在f2(x)图象的上方.f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)=f(a)有两个正数解.因此，在a3时，方程f(x)=f(a)有三个实数解.方法二由f(x)=f(a),得即得方程的一个解x1=a.方程化为ax2+a2x-8=0,由a3,=a4+32a0,得,a3,x1x2,若x1=x3,则3a2=,a4=4a,得a=0或a=,这与a3矛盾,x1x3.故原方程有三个实数解.【探究拓展】在解答此类问题时，注意将方程f(x)=g(x)转化成函数，然后在同一坐标系下画出函数y=f(x)和y=g(x)的图象，通过研究函数图象交点的个数，来确定方程解的个数或函数零点的个数.,变式训练3定义在R上的奇函数f(x)满足:当x0时,f(x)=2009x+log2009x,则在R上f(x)=0的实数根的个数是_.解析因当x0时，f(x)=0,即-2009x=log2009x,在同一坐标系中画出函数y=-2009x,y=log2009x的图象，如图，设图象相交于点M，即方程f(x)=0有一解；又f(x)是定义在R上的奇函数，所以x=0是方程f(x)=0的解，当x0时,方程f(x)=0有一解，故f(x)=0的实数根有3个.,3,数形结合的本质是几何图形的性质反映了数量关系，数量关系解决了几何图形的性质.数形结合思想方法的应用可分为两种情况：借助于“数”的精确性来阐明“形”的属性；借助于“形”的直观来阐明“数”之间的关系.数形结合的基本思路:根据“数”的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题；或将图形信息部分或全部转换成代数信息，削弱或消除“形”的推理部分，把要解决的“形”的问题转化为数量关系的讨论.,一、选择题1.不等式|x|的解集为（）A.x|x2或x2C.x|-12时，y=|x|的图象恒在y=的图象的上方.,B,2.已知函数f(x)=log2(x+1),且abc0,则的大小关系是（）A.B.C.D.解析作出函数f(x)=log2(x+1)的图象，如图，而的几何意义是图象上的点与坐标原点连线的斜率，由图象可知,B,3.平面上的点P（x,y)使关于t的二次方程t2+tx+y=0的根都是绝对值不超过1的实数，那么这样的点P的集合在平面内的区域形状是（）解析因为方程t2+tx+y=0的根都是绝对值不超过1的实数，所以画出不等式组所表示的平面区域可知.,D,4.已知函数f(x)=|x2+2x|，若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数根，则b,c的大小关系是()A.bcB.bc或bc中至少有一个正确C.bcD.不能确定解析令f(x)=t,则f2(x)+bf(x)+c=0可化为t2+bt+c=0要使有7个根，即f(x)=|x2+2x|与f(x)=t有7个交点.如图，所以方,解析令f(x)=t,则f2(x)+bf(x)+c=0可化为t2+bt+c=0要使有7个根，即f(x)=|x2+2x|与f(x)=t有7个交点.如图，所以方程必有两解，而f(x)=t中的一条直线经过f（x）=|x2+2x|折上去的顶点，故式有一解t1=1,另一解t2(0,1)，所以b=-(t1+t2)(-2,-1),c=t1t2(0,1).答案C,5.已知实数，则实数A的取值范围是（）A.B.C.D.解析原式可看成点P(1,3)Q()两点连线的斜率.(0y1)；所以x2+y2=1(-1x0).点Q位于单位圆在第二象限的圆弧上且端点的坐标分别是B(-1,0),C(0,1).kPB=，kPC=2.设过点P与圆弧有公共点的直线方,程为l：kx-y-k+3=0，则1，即k.结合图象，可得A,2.答案C,二、填空题6.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)+1，且ab,若m、n是方程f(x)=0的两根，且mn,则实数a,b,m,n的大小关系是_.解析设函数g(x)=(x-a)(x-b),则f(x)=g(x)+1,所以函数f(x)的图象是把函数g(x)的图象向上平移一个单位，则在同一坐标系中，作出函数g(x)、f(x)的图象如右图，由图象可知：实数amnb.,amnb,7.函数y=f(x)=sinx+2|sinx|(x0，2)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_.解析在坐标系中作出函数y=f(x)的图象，如图，因为直线y=k与y=f(x)的图象有且仅有两个不同的交点，有图象可知：1k3.,（1，3),8.动点P（a,b)在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是_.解析因为,而表示点（1，2）与点（a，b）连线的斜率,则(-,-22,+)，所以(-，-13，+).,(-,-13,+),9.已知实数,则实数M的取值范围是_.解析因为实数,所以0a2,又=令x=a-1,则(x-1,1)，所以实数M可看成点P(2,0)Q（x，）两点连线的斜率.而点Q位于圆x2+y2=1（x-1，1，y0）上,当直线PQ与半圆弧相切时，此时的斜率最小,因|OQ|=1,|OP|=2,OPQ=30,则kPQ=,结合图形综上可知：M,0,0,三、解答题10.若方程lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)在x(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围.解原方程即为即设y1=(x-2)2,x(0,3),y2=1-m,其图象如图，由图象可知：当1-m=0时，有唯一解，即m=1;当11-m4时，有唯一解，即-3m0.综上可知：m=1或-3m0.,11.如图,A,B,C为函数的图象上的三点，他们的横坐标分别是t,t+2,t+4(t1).(1)设ABC的面积为S，求S=f(t)的解析式；(2)判断函数S=f(t)的单调性；(3)求函数S=f