工程力学第九章扭转PPT课件

23.05.2020,.,1,第九章扭转,9-1工程实际中的受扭杆,9-2受扭杆的内力扭矩扭矩图,9-3薄壁圆筒的扭转,9-4圆轴扭转时的应力与变形,9-5圆轴扭转时的强度与刚度计算,23.05.2020,.,2,9-1工程实际中的受扭杆,变形特点：.相邻横截面绕杆的轴线相对转动；.杆表面的纵向线变成螺旋线；.实际构件在工作时除发生扭转变形外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。,受力特点：一对转向相反、作用在垂直于杆轴线的两个平面内的外力偶。,第九章扭转,23.05.2020,.,3,生活中的受扭杆件,23.05.2020,.,4,工程中的受扭杆件,23.05.2020,.,5,23.05.2020,.,6,23.05.2020,.,7,本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。,第九章扭转,23.05.2020,.,8,9-2受扭杆的内力扭矩扭矩图,.传动轴的外力偶矩,当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在t秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮在t秒钟内的转角a。,第九章扭转,23.05.2020,.,9,第九章扭转,因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：,其中：Nk功率，千瓦（KW）n转速，转/分（rpm）,因此，外力偶每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为,23.05.2020,.,10,主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。,第九章扭转,23.05.2020,.,11,.扭矩及扭矩图,传动轴横截面上的扭矩T可利用截面法来计算。,第九章扭转,23.05.2020,.,12,扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。,第九章扭转,23.05.2020,.,13,例9-1已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入NK1=500kW，从动轮输出NK2=150kW，NK3=150kW，NK4=200kW，试绘制扭矩图。,解：计算外力偶矩,23.05.2020,.,14,求扭矩（扭矩按正方向设）,1-1截面：,2-2截面：,3-3截面：,23.05.2020,.,15,绘制扭矩图,BC段为危险截面。,23.05.2020,.,16,扭矩图简洁画法,扭矩图应与原轴平行对齐画,23.05.2020,.,17,作内力图要求：,1.正确画出内力沿杆轴分布规律,2.标明特殊截面的内力数值,4.注明单位,3.标明正负号,23.05.2020,.,18,1、变形现象的观察,实验前：,绘纵向线，圆周线；,9-3薄壁圆筒的扭转,施加一对外力偶m。,23.05.2020,.,19,薄壁圆筒的扭转,23.05.2020,.,20,实验后：,圆周线不变；纵向线变成斜直线。,结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。,各纵向线均倾斜了同一微小角度。,所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,23.05.2020,.,21,2、横截面上的应力,：,=0，0,方向：对轴线的矩与扭矩一致。,垂直于计算点所在半径；,假设沿壁厚均匀分布；,（为什么？）,23.05.2020,.,22,由,薄壁圆筒横截面上剪应力的计算公式：,，于是有,根据应力分布可知,23.05.2020,.,23,3、剪应力互等定理：,上式称为剪应力互等定理。,该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，方向共同指向或共同背离两平面的交线。,23.05.2020,.,24,单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪剪应力状态。,23.05.2020,.,25,4、剪切虎克定律：,23.05.2020,.,26,剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（p)，剪应力与剪应变成正比关系。,23.05.2020,.,27,式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系,可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,23.05.2020,.,28,23.05.2020,.,29,作业：9-1，9-2，9-3,23.05.2020,.,30,9-4等直圆杆扭转时的应力、强度条件,.横截面上的应力,表面变形情况,推断,横截面的变形情况,(问题的几何方面),横截面上应变的变化规律,横截面上应力变化规律,应力-应变关系,(问题的物理方面),内力与应力的关系,横截面上应力的计算公式,(问题的静力学方面),第九章扭转,23.05.2020,.,31,(1).表面变形情况：(a)相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b)纵向线倾斜了一个角度g。平面假设等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：杆的横截面上只有剪应力，且垂直于半径。,1几何方面,第九章扭转,23.05.2020,.,32,（2）.横截面上一点处的剪应变随点的位置的变化规律：,即,第九章扭转,23.05.2020,.,33,可见，在横截面的同一半径r的圆周上各点处的剪应变gr均相同；gr与r成正比，且发生在与半径垂直的平面内。,第九章扭转,式中相对扭转角j沿杆长的变化率，常用来表示，对于给定的横截面为常量。,23.05.2020,.,34,2物理方面,由剪切胡克定律t=Gg知,第九章扭转,可见，在横截面的同一半径r的圆周上各点处的剪应力tr均相同，其值与r成正比，其方向垂直于半径。,23.05.2020,.,35,3静力学方面,其中称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。,从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处剪应力计算公式,以代入上式得：,第九章扭转,23.05.2020,.,36,第九章扭转,横截面周边上各点处的最大剪应力为,式中称为抗扭截面系数，其单位为m3。,23.05.2020,.,37,实心圆截面：,圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp,第九章扭转,23.05.2020,.,38,思考：对于空心圆截面，,其原因是什么？,空心圆截面：,第九章扭转,23.05.2020,.,39,例题9-2实心圆截面轴(图a)和空心圆截面轴(图b)（）除横截面不同外，其它均相同。试求两种圆轴在横截面上最大剪应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。,第九章扭转,23.05.2020,.,40,解：,第九章扭转,由t1,max=t2,max，并将a0.8代入得,23.05.2020,.,41,两轴的重量比即为其横截面面积之比：,空心圆轴的自重比实心圆轴轻。实际应用中，尚需考虑加工等因素。,第九章扭转,23.05.2020,.,42,低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？,第九章扭转,.两种典型材料的扭转破坏现象,23.05.2020,.,43,.强度条件,此处t为材料的许用剪应力。对于等直圆轴亦即,铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的剪应力有固定关系，故仍可以剪应力和许用剪应力来表达强度条件。,第九章扭转,23.05.2020,.,44,例题9-3图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm。扭转力偶矩MA=22kNm，MB=36kNm，MC=14kNm，材料的许用剪应力t=80MPa。试校核该轴的强度。,第九章扭转,23.05.2020,.,45,BC段内,AB段内,解：1.绘扭矩图,2.求每段轴的横截面上的最大剪应力,第九章扭转,23.05.2020,.,46,3.校核强度,需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。,t2,maxt1,max，但有t2,maxt=80MPa，故该轴满足强度条件。,第九章扭转,23.05.2020,.,47,9-5等直圆杆扭转时的变形刚度条件,.扭转时的变形,等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)j来度量。,第九章扭转,23.05.2020,.,48,由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为可知，杆的相距l的两横截面之间的相对扭转角j为,第九章扭转,当等直圆杆相距l的两横截面之间，扭矩及材料的切变模量G为常量时有,23.05.2020,.,49,解：1.各段轴的横截面上的扭矩：,例题9-4图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1592Nm，M2=955Nm，M3=637Nm，lAB=300mm，lAC=500mm，d=70mm，钢的剪切弹性模量G=80GPa。试求横截面C相对于B的扭转角jCB(这里相对扭转角的下角标的注法与书上不同，以下亦如此)。,第九章扭转,23.05.2020,.,50,3.横截面C相对于B的扭转角：,2.各段轴的两个端面间的相对扭转角：,第九章扭转,23.05.2020,.,51,式中的许可单位长度扭转角的常用单位是()/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：,.刚度条件,第九章扭转,对于精密机器的轴0.150.30()/m；,对于一般的传动轴2()/m。,23.05.2020,.,52,解:1.按强度条件求所需外直径D,例题9-5由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a=0.5。已知材料的许用剪应力t=40MPa，切变模量G=80GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Mnmax=9.56kNm，轴的许可单位长度扭转角j=0.3()/m。试选择轴的直径。,第九章扭转,23.05.2020,.,53,2.按刚度条件求所需外直径D,3.空心圆截面