数学分析-CALCULUS---深圳大学ppt课件

.,1,级数与多元微积分SeriesandCalculousinSeveralVariables,授课教师：胡鹏彦授课对象：05本科,.,2,第十八章隐函数定理及其应用,1隐函数,2隐函数组,3几何应用,4条件极值,.,3,1可微性,一可微性与全微分,二偏导数,三可微性条件,四可微性几何意义及应用,.,4,2复合函数微分法,一复合函数的求导法则,二复合函数的全微分,.,5,4条件极值,条件极值,拉格朗日乘数法,掌握拉格朗日乘数解条件极值问题,理解拉格朗日函数的引入,拉格朗日乘数法的应用,基本内容:,基本要求:,重点难点:,拉格朗日函数的引入,.,6,4条件极值,做一个容量为V的长方体开口水箱,问水箱,问题,的长、宽、高各等于多少时,其表面积最小?,.,7,4条件极值,定义,(2),对自变量有约束条件的极值问题称为条件极,的限制下求目标函数,值问题.,(3),的极值.,条件极值问题的一般形式为:在条件组,.,8,且在P0取得极值,则有,极值必要条件,若函数f在点P0(x0,y0)存在偏导数,.,9,U(P0)内具有二阶连续偏导数,且P0是f的稳定点.,极值充分条件,设二元函数f在点P0(x0,y0)的某邻域,则当H(P0)是正定矩阵时,f在P0取得极小值;,当H(P0)是负定矩阵时,f在P0取得极大值;,当H(P0)是当H(P0)是不定矩阵时,f在P0不取极值.,.,10,为f在点P0的黑赛(Hesse)矩阵.,称矩阵,.,11,二阶连续偏导数,且P0是f的稳定点,则有,设二元函数f在点P0(x0,y0)的某邻域U(P0)内具有,(i)当,时,f在点P0取得,极小值;,(ii)当,时,f在点P0取得,极大值;,(iii)当,时,f在点P0不能取得极值;,(iv)当,时,不能肯定f在点P0是否,取得极值.,.,12,4条件极值,在约束条件,求函数,下的条件极值.,.,13,确定的隐函数yg(x)的导数为,4条件极值,方程,.,14,上点P0(x0,y0)处切线的方向数为,4条件极值,平面曲线,.,15,定理18.6,其中f与k(k1,2,m)在D内有连续的一阶偏,雅可比矩阵,(13),4条件极值,设在条件(2)的限制下,求函数(3)的极值,导数.若D的内点,是极值点,且,.,16,的解.,4条件极值,的秩为m,则存在常数,为下述nm个方程,使得,.,17,例1,截成一个椭圆.求这个椭圆到原点的最长与最短距离.,4条件极值,用拉格朗日乘数法求水箱设计问题的解.,被平面,例2,抛物面,.,18,其中a,b,c为任意正实数.,4条件极值,下的极小值,并证明不等式,例3,求f(x,y,z)xyz在条件,.,19,上的点到xy平面的最小距离和最大距离.,4条件极值,1.设a0,求曲线,作业,P.169.习题1.(1),(3).3.,补充作业,证明不等式,2.设,.,20,第十八章复习,一、隐函数:由方程所确定的函数.,1隐函数,二、隐函数定理:条件:(i)F,Fx和Fy连续;,(ii)F(x0,y0)0;(iii)Fy(x0,y0)0,结论:F(x,y)0确定一个连续可微的函数yf(x),其导数为,.,21,第十八章复习,三、利用隐函数定理解题的一般步骤:,1隐函数,(i)确定F,求F对各变量的偏导数;,(ii)验证F(P0)0及F和F对各变量偏导数的连续性;,(iii)验证在P0处F对某变量偏导数不等于0;,(iv)利用隐函数定理求导数.,注意:当已知所给方程能够确定连续可微的隐函数,时,该隐函数的(偏)导数可通过方程两端求,(偏)导数,然后解方程而得到.,.,22,第十八章复习,一、隐函数组:由方程组所确定的函数组.,2隐函数组,二、隐函数组定理:条件:(i)F和G具有连续偏导数;,(ii)F(P0)G(P0)0;(iii)Fy(x0,y0)0,结论:方程组F(x,y,u,v)0,G(x,y,u,v)0可确定一组,可微函数组u=u(x,y),v=v(x,y),且,(iii),.,23,第十八章复习,三、利用隐函数组定理解题的步骤类似隐函数定理,1隐函数,注意:方程组确定的隐函数组的(偏)导数可通过,方程两端求(偏)导数,然后解方程组给出.,.,24,第十八章复习,一、平面曲线的切线与法线,3几何应用,求出曲线在指定点切线的斜率,即函数的导数.,曲线由方程F(x,y)0确定,切线方程:,法线方程:,.,25,第十八章复习,二、空间曲线的切线与法平面,3几何应用,求出曲线在指定点切线的方向向量.,曲线由参数方程给出,切线方程:,法平面方程:,切线的方向向量:,.,26,第十八章复习,3几何应用,曲线由方程组给出,切线方程:,切线的方向数:,.,27,第十八章复习,3几何应用,法平面方程:,.,28,第十八章复习,三、曲面的切平面与法线,3几何应用,求出曲面在指定点的法向量.,切平面方程:,法线方程:,法向量的方向数:,.,29,第十八章复习,