CG09曲线曲面

第7章自由曲线和曲面,教学目标,掌握三次参数样条曲线对曲线的控制方法理解三次参数样条曲线控制优势掌握Hermite曲线对曲线的控制方法理解Hermite曲线控制优势掌握Bezier曲线对曲线的控制方法理解Bezier曲线控制优势掌握B样条曲线对曲线的控制方法理解B样条曲线控制优势,工业产品的几何形状大致可分为两类：一类由初等解析曲面，如平面、圆柱面、圆锥面、球面和圆环面等组成，可以用初等解析函数完全清楚地表达全部形状。另一类由自由曲面组成，如汽车车身、飞机机翼和轮船船体的曲线和曲面，不能用初等解析函数完全清楚地表达全部形状，需要构造新的函数来进行研究，这些研究成果形成了计算机辅助几何设计学科(CAGD)。,一些基本概念,1，位置矢量：曲线上的一点可用位置矢量p(t)表示。如图中的r点。,2，切矢量：若在曲线上r和Q两点的参数分别是t和t+t，矢量PP(t+t)P(t)，其大小以连接rQ的弦长表示。如果曲线在r处有确定切线，则当Q趋向于r，即t0时，导数矢量dp/dt的方向趋于点的切线方向。,3，曲率：设以弧长C为参数，曲线的方程为p(c),其上r点的参数为c，Q点的参数cC，相应的单位切矢量为T（c)和T(c+C)，其夹角为。通常这两个切矢量不在同一平面上，是把Q点的切矢量平移到r点之后两个矢量之间的夹角。我们通常用和C之比的绝对值来度量rQ的弯曲程度的。当Q点趋以近于r点时，比值/C为曲线p(c)在r点的曲率。,4，法矢量：过r点与其切矢量垂直的矢量为法矢量。与曲率半径平行的法矢量称为主法矢量。与切矢量和主法矢量都垂直的矢量称为副法矢量。,5，挠率：挠率是指曲线在r点向切矢量和主法矢量平面外扭出的程度。9，光顺：曲线的拐点少，曲率变化小。,样条曲线曲面,在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲线的形状。绘图员弯曲样条(如弹性细木条)通过各型值点，其他的地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得到样条曲线(splinecurve)。在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边处满足特定的连续性条件，而样条曲面则可用两组正交样条曲线来描述。,曲线曲面的表示形式,曲线曲面可以采用显式方程、隐函数方程和参数方程。,直线的表示形式,已知直线的P1(x1,y1)P2(x2,y2)显式方程：,隐式方程：,直线的参数方程,由于用参数方程表示曲线曲面可以进行几何变换，而且易于表示成矢量和矩阵，所以在计算机图形学中一般使用参数方程来描述曲线曲面。下面以一条三次曲线为例，给出参数方程的矢量和矩阵表示。,三次曲线参数方程,三次曲线的矢量表示,三次曲线的矩阵表示,拟合,曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲面的形状时，武装完全通过给定的型值点序列，称为曲线曲面的拟合。,逼近,曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点，称为曲线曲面的逼近。,连续性条件,通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段连接成组合曲线，或将一些曲面片连接成组合曲面，才能描述复杂的形状。为了保证在连接点处平滑过渡，需要满足连续性条件。连续性条件有两种：参数连续性和几何连续性。,参数连续性,零阶参数连续性，记作C0，指相邻两曲线段在交点处具有相同的坐标。一阶参数连续性，记作C1，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶导数。二阶参数连续性，记作C2，指相邻的两条曲线在交点处具有相同的一阶和二阶导数。,几何连续性,与参数连续性不同，几何连续性只要求参数导数成比例，而不是相等。零阶几何连续性，记作G0，相邻两个曲线段在交点处有相同的坐标。一阶几何连续性，记作G1，指相邻两个曲线段在交点处一阶导数成比例，但大小不一定相等。二阶几何连续性，记作G2，指相邻两个曲线段在交点处二阶导数成比例。即曲率相等。,三次参数样条,实际工作中，通常使用三次样条曲线。三次参数样条曲线使用三次参数多项式来建立，这样即能使曲线通过特定的型值点，又能使曲线段在连接点处保持C2连续性。与更高次参数多项式相比，三次参数多项式的计算量少且存储稳定，而更低次的参数多项式难以描述复杂的自由曲线形状。,一条三次曲线的代数形式是：x=a3xt3+a2xt2+a1xt+a0 xy=a3yt3+a2yt2+a1yt+a0yz=a3zt3+a2zt2+a1zt+a0z,参数曲线的代数形式和几何形式：,将上式用矢量形式写出：p(t)=a3t3+a2t2+a1t+a0t0,1在两端点有：p(0)=a0;p(1)=a0+a1+a2+a3p(0)=a1;p(1)=a1+2a2+3a3,参数曲线的代数方式,求解上述四个方程得到：a0=p(0);a1=p(0)a2=-3p(0)+3p(1)-2p(0)-p(0);a3=2p(0)-2p(1)+p(0)+p(1);设：P0=p(0)；p1=p(1)；p0=p(0)；p1=p(1)；得到：p(t)=(2t3-3t2+1)p0+(-2t3+3t2)p1+(t3-2t2+t)p0+(t3-t2)p1,参数曲线方程的几何形式,F1=2t3-3t2+1;F2=-2t3+3t2;F3=t3-2t2+t;F4=t3-t2所以有：p(t)=F1p0+F2p1+F3p0+F4p1F=F1,F2,F3,F4称为调和函数。所以得到：PTB其中：T=t3t2t1;B=p0p1p0p1T,Bezier曲线,Bezier曲线的想法从一开始就面向几何而不是面向代数。Bezier曲线由控制多边形唯一定义，Bezier曲线只有第一个顶点和最后一个顶点落在控制多边形上。且多边形的第一条和最后一条边表示了曲线的起点和终点的切矢量方向，其他顶点则用于定义曲线的导数、阶次和形状，曲线的形状趋近于控制多边形的形状，改变控制多边形的顶点位置就会改变曲线的形状。绘制Bezier曲线的直观交互性使得对设计对象的控制达到了直接的几何化程度，使用起来非常方便。,Bezier曲线：1）定义：Bezier曲线是由一组折线来定义的。该曲线具有以下特点：(1)曲线的起点和终点与该多边形的起点、终于点重合。(2)多边形的第一条边和最后一条边表示了曲线在起点和终点处的切矢量方向。(3)曲线的形状趋于多边形的形状。对于给定空间n+1个点的位置Pi，则Bezier曲线上各点坐标的插值公式是：,n,Pi构成曲线的特征多边形，Bi,n(t)是Bernstein基函数，也是曲线上各点位置的调和函数。当n=2我们就得到二次Bezier曲线其矩阵表达式为：,同理可得到三次Bezier曲线的矩阵形式为：,虽然Bezier曲线有许多优越性，但还是存在一些缺点。主要有两方面：1，特征多边顶点个数决定了Bezier曲线的阶次，并且当n较大时，特征多边形对曲线的控制将会减弱。2，Bezier曲线不能作局部修改，即改变某一个控制点的位置对整条曲线都有影响。,B样条曲线,B样条曲线是Bezier曲线的改进。给定平面或空间顶点Pi(i=1,2,3,.,n)称n次参数曲线段：为n次B样条曲线，其顶点Pi(i=1,2,3,.,n)所组成的多边形为B样条曲线的特征多边形，PiGi,n(t)称n次B样条函数的基函数。二次B样条曲线：令n2，则行到二次B样条曲线矩阵的表达形式：经推导可得：p(0)=(p0+p1)/2p(1)=(p1+p2)/2,0=t=1,0=t=1,i=0,1,2.,n,p0,p1,p2,三次B样条曲线：令n=3,则得三次B样条曲线:,曲面简介：,参数曲面的定义：一和矩形域上的参数曲面片：一张矩形域上的由曲线边界包围具有一定连续性的点集面片，用双参数的单值函数表示式为：x=x(u,w),y=y(u,w),z=z(u,w)0=u,w=1其中u,w为参数。并可记为：p(u,w)=x(