线性规划问题中目标函数常见类型梳理

线性规划问题中目标函数常见类型梳理山东 张吉林 （山东省莱州五中 邮编）线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。一 基本类型直线的截距型（或截距的相反数）例1.已知实数x、y满足约束条件，则的最小值为（ ）A5 B-6 C10 D-10 分析：将目标函数变形可得，所求的目标函数的最小值即一组平行直线在经过可行域时在y轴上的截距的最小值的4倍。解析：由实数x、y满足的约束条件，作可行域如图所示：-553OxyCABL当一组平行直线L经过图中可行域三角形ABC区域的点C时，在y轴上的截距最小，又，故的最小值为，答案选B。 点评：深刻地理解目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。二 直线的斜率型例2.已知实数x、y满足不等式组,求函数的值域.解析：所给的不等式组表示圆的右半圆(含边界)， -22Oxy（-1，-3）-2可理解为过定点，斜率为的直线族则问题的几何意义为：求过半圆域上任一点与点的直线斜率的最大、最小值由图知，过点和点的直线斜率最大，过点所作半圆的切线的斜率最小设切点为，则过B点的切线方程为又B在半圆周上，P在切线上，则有解得因此。综上可知函数的值域为 三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）例3. 已知实数x、y满足，则的最值为_.解析：目标函数，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示： -111Oxy（2，2）x+y-1=0-1ABC可行域为图中内部（包括边界），易求B（-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B的距离为其到可行域内点的最大值，；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值，。四 点到直线的距离型例4.已知实数x、y满足的最小值。解析：目标函数，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：(-2,1)1Oxy2x+y=1点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求得，故同步训练：已知实数x、y满足,则目标函数的最大值是_。答案：13；五 变换问题研究目标函数例5.（山东潍坊08届高三）已知，且的最大值是最小值的3倍，则a等于（ ）A或3 B C或2 D解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，准确画图找到可行域是关键.如图所示，点和B点分别取得最小值和最大值. 由，由得B(1，1). . 由题意得故答案B。六 综合导数、函数知识类例6.（山东省日照市2008届高三第一次调研）已知函数，部分对应值如下表，的导函数，函数的图象如右图所示. 若两正数a，b满足的取值范围是（ ）x204 111ABCD分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基本性质，将其与所给的函数性质联系起来。由导函数的图象可知，原函数在区间 -2,0为单调递减函数，在区间（0，）为单调递增函数。结合题中提供的函数的数据可得，另外注意到的几何意义，转化为线性规划问题可求解。解析：由导函数的图象可知，原函数在区间 -2,0为单调递减函数，在区间（0，）为单调递增函数，又，故，而均为正数，可得可行域如图，(-3,-3)42Oxy的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜率的取值范围，故最大为点（0，4），此时为，最小为