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第三章最小二乘法与曲线拟合,3.1最小二乘法3.2曲线拟合3.3加权最小二乘法,引言,插值法在工程及建筑设计中应用十分广泛。例如，已知一天24小时的逐时室外气温、综合温度、冷热负荷等值，需要知道其他任意时刻的值，即可应用插值计算求得；又如，我国工业企业采取通风和空气调节设计规范中，仅给出了有限个地区相应有限个方位的夏季太阳辐射热总强度值，以及透过窗玻璃的太阳总辐射强度值，至于其它任意方位（0-350）的中间值，也要用插值法求得。因此，插值法的研究很有必要。,实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据；或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。这个过程就是曲线拟合。,3.1最小二乘法,通过给出的一组离散点，构造一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。在实际中，数据不可避免的会有误差，而插值函数会将这些误差也包括在内。,因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段：不要求过所有的点（可以消除误差影响）；尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。,可以采用最小二乘法,曲线拟合问题：,要求近似曲线严格通过所给定的点插值法作近似曲线，考虑初值误差最小二乘法,一、最小二乘原则：,2.常用方法：,常用第三种方法，称为最小二乘原则。,二、矛盾方程组：,1、,（1）,2、矛盾方程组的解：,求一组数代入（1）式，使每个等式的偏差最小，称为矛盾方程组的最优近似解。,3、最小二乘法：,（1）式：,（求Q的最小值）,（2）,称（2）为（1）的正规方程组（法方程组）。,（2）的解即为（1）的解，称此方法为最小二乘法。,3.2曲线拟合,一、已知设一个次数低于n1的多项式,代入数据得矛盾方程组：,（3）,二、解题步骤：,三、上机实现：,Mathematica拟合函数：Fitdata,funs,vars用数据data，以vars为变量，按拟合函数的基函数funs的形式构造拟合函数。,实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:,解：从散点图可以看出,纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系,故可选取线性函数,为拟合函数，,建立法方程组,解得,问题分析：纤维强度随拉伸倍数增加而增加,并且24个点大致分布在一条直线附近,拟合曲线与散点的关系如右图:,3.3加权最小二乘法,在实际问题中测得的所有实验数据，并不是等精度，等地位的。显然，对于精度较高或地位较重要（者应更具情况来判定）
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