空间向量及其运算

8.5空间向量及其运算1 空间向量的概念(1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量(2)向量的夹角：过空间任意一点O作向量a，b的相等向量和，则AOB叫作向量a，b的夹角，记作a，b，0a，b.2 共线向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.(2)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3使得a1e12e23e3，其中e1，e2，e3叫作空间的一个基底3 空间向量的数量积及运算律(1)定义空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于|a|b|cosa，b，记作ab.(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4 空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则aba1b1a2b2a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ababa1b1，a2b2，a3b3 (R)，abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)(3)模、夹角公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|，cosa，b(a0，b0) .1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)()(3)对于非零向量b，由abbc，则ac.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同()(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有0.()(6)|a|b|ab|是a、b共线的充要条件()2 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abcCabc D.abc答案A解析()c(ba)abc.3 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若xy，则x，y的值分别为()Ax1，y1 Bx1，yCx，y Dx，y1答案C解析如图，()4 同时垂直于a(2,2,1)和b(4,5,3)的单位向量是_答案或解析设与a(2,2,1)和b(4,5,3)同时垂直的单位向量是c(p，q，r)，则解得或即同时垂直于a，b的单位向量为或.5 在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)答案abc解析abc.题型一空间向量的线性运算例1三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量，表示，.思维启迪利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可解()().思维升华用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点(1)化简_；(2)用，表示，则_.答案(1)(2)解析(1).(2).题型二共线定理、空间向量基本定理的应用例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有()思维启迪对于(1)只要证出向量即可；对于(2)只要证出与共线即可；对于(3)，易知四边形EFGH为平行四边形，则点M为线段EG与FH的中点，于是向量可由向量和表示，再将与分别用向量，和向量，表示证明(1)连接BG，则()，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面(2)因为()，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知，同理，所以，即EH綊FG，所以四边形EFGH是平行四边形所以EG，FH交于一点M且被M平分故()()思维升华(1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明，共线，亦即证明(0)(2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明xy或对空间任一点O，有xy或xyzOC(xyz1)即可共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E2EB，CF2AF，则EF与平面A1B1CD的位置关系为_答案平行解析取a，b，c为基底，易得(abc)，而abc，即，故EFDB1，且EF平面A1B1CD，DB1平面A1B1CD，所以EF平面A1B1CD.题型三空间向量数量积的应用例3如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值思维启迪两条直线的垂直关系可以转化为两个向量的垂直关系；利用|a|2aa可以求线段长；利用cos 可求两条直线所成的角(1)证明设p，q，r.由题意可知，|p|q|r|a，且p、q、r三向量两两夹角均为60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.即MNAB.同理可证MNCD.(2)解由(1)可知(qrp)，|2(qrp)2q2r2p22(qrpqrp)a2a2a22()2a2.|a.MN的长为a.(3)解设向量与的夹角为.()(qr)，qp，(qr)(qp)(q2qprqrp)(a2a2cos 60a2cos 60a2cos 60)(a2).又|a，|cos aacos .cos .向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.思维升华(1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角来进行计算应该注意的是(0，0，所以cos |cos |；(3)立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|转化为向量求解已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(2)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值解(1)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.(2)方法一kab(k1，k,2)ka2b(k2，k，4)，且kab与ka2b互相垂直，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280，k2或k，当kab与ka2b互相垂直时，实数k的值为2或.方法二由(1)知|a|，|b|，ab1，(kab)(ka2b)k2a2kab2b22k2k100，得k2或k.“两向量同向”意义不清致误典例：(5分)已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为_易错分析将a，b同向和ab混淆，没有搞清ab的意义：ab方向相同或相反解析由题意知ab，所以，即把代入得x2x20，(x2)(x1)0，解得x2，或x1当x2时，y6；当x1时，y3.当时，b(2，4，6)2a，两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去当时，b(1,2,3)a，a与b同向，所以答案1,3温馨提醒(1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a，b满足ab(b0)且0则a，b同向；在a，b的坐标都是非零的条件下，a，b的坐标对应成比例.方法与技巧1利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础2利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题3利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题失误与防范1向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即abba，a(bc)abac成立，(ab)ca(bc)不一定成立2求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(2，1，6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A垂直 B平行C异面 D相交但不垂直答案B解析由题意得，(3，3,3)，(1,1，1)，3，与共线，又与没有公共点ABCD.2 已知O，A，B，C为空间四个点，又，为空间的一个基底，则()AO，A，B，C四点不共线BO，A，B，C四点共面，但不共线CO，A，B，C四点中任意三点不共线DO，A，B，C四点不共面答案D解析，为空间的一个基底，所以，不共面，但A，B，C三种情况都有可能使，共面3 已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是()A2， B，C3,2 D2,2答案A解析由题意知：解得或4 空间四点A(2,3,6)、B(4,3,2)、C(0,0,1)、D(2,0,2)的位置关系是()A共线 B共面C不共面 D无法确定答案C解析(2,0，4)，(2，3，5)，(0，3，4)假设四点共面，由共面向量定理得，存在实数x，y，使xy，即由得xy1，代入式不成立，矛盾假设不成立，故四点不共面5 如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为()A0 B.C. D.答案A解析设a，b，c，则|b|c|，a，ba，c，cb，a(cb)acab|a|c|cos |a|b|cos 0，cos，0.二、填空题6 已知2ab(0，5,10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为_答案60解析由题意得，(2ab)c0102010.即2acbc10，又ac4，bc18，cosb，c，b，c120，两直线的夹角为60.7 已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值为_答案解析ba(1t,2t1,0)，|ba| ，当t时，|ba|取得最小值.8 如图所示，已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，则PC等于_答案12解析因为，所以22222363636236cos 60144.所以|12.三、解答题9 已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上是否存在一点E，使得b(O为原点)?解(1)a(1，3,2)，b(2,1,1)，2ab(0，5,5)，|2ab|5.(2)假设存在点E，其坐标为E(x，y，z)，则，即(x3，y1，z4)(1，1，2)，E(3，1，24)，(3，1，24)又b(2,1,1)，b，b2(3)(1)(24)590，E(，)，在直线AB上存在点E(，)，使b.10如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值解记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.(1)|2(abc)2a2b2c22(abbcca)1112()6，|，即AC1的长为.(2)bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1.cos，.BD1与AC夹角的余弦值为.B组专项能力提升(时间：30分钟)1 若向量c垂直于不共线的向量a和b，dab(、R，且0)，则()AcdBcdCc不平行于d，c也不垂直于dD以上三种情况均有可能答案B解析由题意得，c垂直于由a，b确定的平面dab，d与a，b共面cd.2 以下命题中，正确的命题个数为()若a，b共线，则a与b所在直线平行；若a，b，c为空间一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；若空间向量m、n、p满足mn，np，则mp；对空间任意一点O和不共线三点A、B、C，若xyz(其中x，y，zR)，则P、A、B、C四点共面A1 B2 C3 D4答案B解析由共线向量知a与b所在直线可能重合知错；若ab，bc，ca共面，则存在实数x，y，使abx(bc)y(ca)yaxb(xy)c，a，b，c不共面，y1，x1，xy0，x，y无解，ab，bc，ca能构成空间的一个基底，正确；由向量相等的定义知正确；由共面向量定理的推论知，当xyz1时，P，A，B，C四点共面，不正确故选B.3 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为_答案解析以D为原点，DA、DC、DD1为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，M(1，1)，N(1,1，)，(0，1)，(1,0，)，cos，.4 已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以，为边的平行四边形的面积；(2)若|a|，且a分