高一数学-直线与圆的方程——直线与圆的位置关系

10专题二 直线与圆的位置关系教学目标： 直线和圆的位置关系的判断教学重难点： 直线和圆的位置关系的应用教学过程：第一部分 知识点回顾考点一：直线与圆的位置关系的判断：直线和圆有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：由，消元得到一元二次方程，计算判别式，相交；相离；相切；（2）几何方法如果直线l和圆C的方程分别为：，. 可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系:相交；相离；相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。例1 直线xsinycos2sin与圆(x1)2y24的位置关系是()A相离 B相切 C相交 D以上都有可能答案B 解析圆心到直线的距离d 所以直线与圆相切例2 已知直线l过点(2,0)，当直线l与圆x2y22x有两个交点时，其斜率k的取值范围是()A(2，2)B(，) C(，) D(，)答案C 设l的方程yk(x2)，即kxy2k0.圆心为(1,0)由已知有1，k.例3 圆(x3)2+(y3)2=9上到直线3x+4y11=0的距离为1的点有几个？解：圆(x3)2+(y3)2=9的圆心为O1(3，3)，半径r=3，设圆心O1(3，3)到直线3x+4y11=0的距离为d，则d=如图1，在圆心O1的同侧，与直线3x+4y11=0平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题意，又rd=32=1，所以与直线3x+4y11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. 所以符合题意的点共有3个。例4 平移直线xy10使其与圆(x2)2(y1)21相切，则平移的最短距离为()A.1 B2 C. D.1与1答案A解析如图2，圆心(2,1)到直线l0：xy10的距离d，圆的半径为1，故直线l0与l1的距离为1，平移的最短距离为1，故选A. 图 1 图 2例5 已知曲线5x2y2+5=0与直线2xy+m=0无交点，则m的取值范围是 1m0)相切，则m=（ D ）（A） （B） （C） （D）2例10 由点P(1，2)向圆x2+y2+2x2y2=0引的切线方程是 5x+12y+19=0和x=1 .例11 直线a(x+1)+b(y+1)=0与圆x2+y2=2的位置关系是（ C ）（A）相离 （B）相切 （C）相交或相切 （D）不能确定考点三：直线与圆相交的弦长公式（1）平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l与圆相交于两点A、B，线段AB的长即为直线l与圆相交的弦长.设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有，即AB= .（2）解析法求弦长公式：如图所示，直线l与圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的倾斜角存在时，联立方程组，消元得到一个关于x的一元二次方程，求得x1+x2和x1x2.于是，这样就求得。例11 直线l经过点P(5，5)，且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为4，求l的方程.解：设|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，在RtAHO中，|OA|=5，|AH|=|AB|=2，所以 |OH|=，即, 解得k=，k=2，所以直线l的方程为x2y+5=0，或2xy5=0.例12 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程分析：首先求、两点的坐标，再用两点式求直线的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧解：设两圆、的任一交点坐标为，则有：得：、的坐标满足方程方程是过、两点的直线方程又过、两点的直线是唯一的两圆、的公共弦所在直线的方程为说明：上述解法中，巧妙地避开了求、两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛例13 圆心为(1，2)、半径为2的圆在x轴上截得的弦长为（ A ）（A）8 （B）6 （C）6 （D）4例14 直线x+y=1被圆x2+y22x2y7=0所截得线段的中点是（ A ）（A）(，) （B）(0，0) （C） （D）例15 已知圆C：x2+y22x+4y4=0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解法一：假设存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点。 设l的方程为y=x+b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由OAOB知，kOAkOB=1，即x1x2+y1y2=0.由，得2x2+2(b+1)x+b2+4b4=0。 x1+x2=(b+1)，x1x2=，y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2=, x1x2+y1y2=0. b2+3b4=0，解得b=4或b=1故存在这样的直线.，它的方程是y=x4或y=x+1。解法二：圆C化成标准方程为(x1)2+(y+2)2=9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为(a，b)。由于CMl， kCMkl=1，即， b=a1.直线l的方程为yb=xa，即xy+ba=0， ，因为以AB为直径的圆C过原点，所以|MA|=|MB|=|MO|，而|MB|2=|CB|2|CM|2=，|OM|2=a2+b2， = a2+b2，代入消元得2a2a3=0， a=或a=1，当a=，b时，此时直线l的方程为xy4=0；当a=1，b=0时，此时直线l的方程为xy+1=0。故这样的直线l是存在的，它的方程为xy4=0或xy+1=0。例16 在RtABO中，BOA=90，|OA|=8，|OB|=6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A、B、O的距离的平方和的最大值和最小值.解：如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，则A(8，0)，B(0，6)，内切圆C的半径r=，所以圆心坐标为C(2，2)，所以内切圆C的方程为(x2)2+(y2)2=4，设P(x，y)为圆C上任一点，点P到顶点A、B、O的距离的平方和为d，则d=(x8)2+y2+x2+(y6)2+x2+y2=3x2+3y216x12y+100=3(x2)2+(y2)24x+76，因为点P(x，y)在圆上，所以(x2)2+(y2)2=4， d=884x，因为点P(x，y)是圆C上的任意点，x0，4， 当x=0时，dmax=88；当=4时，dmin=72.例17 已知圆C：(x3)2+(y4)2=4和直线l：kxy4k+3=0.（1）求证：不论k取何值，直线和圆总相交.（2）求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长.答案：（2）k=1，弦长为2第二部分 课堂练习1、直线与圆没有公共点，则的取值范围是 解：依题意有，解得.，.2：若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是 .解：依题意有，解得，的取值范围是.3、圆上到直线的距离为的点共有（ ）（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个分析：把化为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于，所以选CPEOyx4、过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点，如图所示分析：观察动画演示，分析思路解：设直线的方程为即根据有整理得 解得 5、已知ABC的两个顶点A(-10，2)，B(6，4)，垂心是H(5，2)，求顶点C的坐标 解: 直线AC的方程为 即x+2y+6=0 (1)又 BC所直线与x轴垂直 故直线BC的方程为x=6 (2)解(1)(2)得点C的坐标为C(6,-6)6、已知方程.（）若此方程表示圆，求的取值范围；（）若（）中的圆与直线相交于M，N两点，且OMON（O为坐标原点）求的值；（）在（）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.解：（） D=-2，E=-4，F= =20-， （） 代入得 ， OMON得出： （）设圆心为 半径圆的方程 7、 已知圆，直线。（）求证：对，直线与圆C总有两个不同交点；（）设与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；（）若定点P（1，1）分弦AB为，求此时直线的方程。解：（）解法一：圆的圆心为，半径为。圆心C到直线的距离直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；OBMAC方法二：直线过定点，而点在圆内直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；（）当M与P不重合时，连结CM、CP，则，设，则，化简得：当M与P重合时，也满足上式。故弦AB中点的轨迹方程是。（）设，由得，化简的又由消去得（*） 由解得，带入（*）式解得，直线的方程为或。第三部分 作业练习一、选择题：1. 已知过、两点的直线与直线平行，则的值为（ ）A. -10 B. 2 C.5 D.172. 设直线的倾角为，则它关于轴对称的直线的倾角是（ ）. B. C. D.3. 已知过两点的直线与直线垂直，则的值（ ）A.4 B.-8 C.2 D.-1 4. 若点到点及的距离之和最小，则的值为（ ）A. B. 1 C. 2 D. 5. 不论为何值，直线恒过的一个定点是（ ）A.(0,0) B.(2,3) C.(3,2) D.(-2,3) 6. 圆上与直线的距离等于的点共有（ ）A1个 B2个 C3 个 D4个7. 在RtABC中, A90, B60, AB=1, 若圆O的圆心在直角边AC上, 且与AB和BC所在的直线都相切, 则圆O的半径是（ ）A. B. C. D. 8. 圆上的点到直线的距离的最大值是（ ）A. B. C D. 9. 过圆上一点的圆的切线方程为（ ）A. B. C. D. 10. 已知点是圆：内一点，直线是以为中点的弦所在的直线，若直线的方程为，则（ ）A且与圆相离 B且与圆相交C与重合且与圆相离 D且与圆相离二、填空题：11. 若直线沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移1个单位，又回到原来的位置，则直线的斜率=_ 12. 斜率为1的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 13. 已知直线过点P(5,10),且原点到它的距离为5,则直线的方程为 . 14. 过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 15. 已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为 三、解答题：16. 求经过直线l1:3x+4y-5=0 l2:2x-3y+8=0的交点M,且满足下列条件的直线方程：()经过原点; ()与直线2x+y+5=0平行; ()与直线2x+y+5=0垂直.17. 已知圆及直线. 当直线被圆截得的弦长为时, 求（）的值；（）求过点并与圆相切的切线方程.18、 已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线交圆C于A、B两点.（）当经过圆心C时，求直线的方程；（）当弦AB被点P平分时，写出直线的方程； （）当直线的倾斜角为45时，求弦AB的长.直 线 与 圆 复 习 题 参 考 答 案题号12345678910答案BCBABCDBDA11、= 12、 13、或14、 15、16、解：() （） （）17、解：（）依题意可得圆