重庆市直属校2020届高三下学期3月月考理科数学试题含答案

高高 2020 级高三（下）级高三（下）3 月月考月月考 理科数学试题理科数学试题 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1设集合 2 |9Ax x，3, 2, 1,0,1,2B ，则AB A0,1,2B1,0,1,2C2, 1,0,1,2D2, 1,0 2设2)(1 (biai，其中ba,是实数，i为虚数单位，则bia3 A2 B7 C22 D10 3已知数列 n a是各项均为正数的等比数列，2 1 a， 32 216aa，则 29 log a A15 B16 C17 D18 4若实数, x y满足约束条件 20, 20, 240, xy xy xy ，则zxy的最小值为 A8 B6 C1 D3 5我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中周髀算经、 九章算术、 海岛算经、孙子算经、 缉古算经有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这 5 部专著中有 3 部产生于汉、 魏、晋、南北朝时期现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选 2 部专著 中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 A 3 5 B 7 10 C 4 5 D 9 10 6如图，四棱柱 1111 ABCDABC D中，ABCD为平行四边形， ,E F分别在线段 1 ,DB DD上，且 1 1 2 DEDF EBFD ，G在 1 CC 上且平面AEF 平面 1 BDG，则 1 CG CC A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 1 4 7在直角坐标系xOy中，半径为1m的C在0t 时圆心C与原点O重合, C沿x轴以1/m s的速度 匀速向右移动，C被y轴所截的左方圆弧长记为x,令cosyx,则y关于时间t (01t ,单位: s) 的函数的图象大致为 A B C D G F D1 B1 C1 A B C D A1 E 8)()( Nnxmx n 的展开式中，各二项式系数和为 32，各项系数和为 243，则展开式中 3 x的系数 为 A40 B30 C20 D10 9设函数)0, 0)()(cos()(Rxxxf的部分图象如图所示，如果) 12 7 , 12 (, 21 xx， 21 xx ，且)()( 21 xfxf，则)( 21 xxf A 3 2 B 1 2 C 3 2 D 1 2 10已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，球O的半径为4，ABC是边长为6的等边三角 形，记ABC的外心为 1 O若三棱锥PABC的体积为12 3，则 1 PO A2 3 B2 5 C2 6 D2 7 11设双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左顶点为A，右焦点为,0F c，若圆 2 22 :Axaya 与直线0bxay交于坐标原点O及另一点E， 且存在以O为圆心的圆与线段EF相切， 切点为EF 的中点，则双曲线的离心率为 A 6 2 B2 C3 D3 12函数 1 ln0 0 x xx f x xex ，若关于x的方程 22 0fxaf xaa有四个不等的实数根，则 a的取值范围是 A 4 ,1 5 B, 11, C , 11 D 1,01 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知向量a与b的夹角为 0 120，且( 1,3)a ，10b ，则a b_ 14已知函数 | ( )3() x a f xaR 满足( )(4)f xfx，则实数a的值为_ 15设各项均为正数的数列 n a的前n项和 n S满足022 222 nnSnnS nn ， Nn，则数列 1 1 nna a 的前2020项和 2020 T_ 16设抛物线 2 2yx的焦点为F，准线为l，弦AB过点F且中点为M，过点,F M分别作AB的垂线 交l于点,P Q，若3AFBF，则FPMQ_ 三、解答题：（共 70 分） 17（本小题满分 12 分） 在ABC中，角CBA,的对边分别为cba,，且满足).sin3(cosAAbc （）求角B的大小； （）若4a，且BC边上的高为3，求ABC的周长 18（本小题满分 12 分） 如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，22AEEB，且ABDE 以DE为折痕 把ADE折起，使点A到达点F的位置，且60FEB （）求证：平面BFC 平面BCDE； （）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为 15 5 ，求二面角EDFC的正弦值 19（本小题满分 12 分） 为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂 在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取 20 件产品进行检测，测量 其主要药理成分含量（单位：mg）根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主 要药理成分含量服从正态分布 2 ( ,)N 在一天内抽取的 20 件产品中，如果有一件出现了主要药理成分 含量在(3 ,3 ) 之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本 次的生产过程进行检查 （）下面是检验员在 2 月 24 日抽取的 20 件药品的主要药理成分含量： 9.78 10.04 9.92 10.14 10.04 9.22 10.13 9.91 9.95 9.96 9.88 10.01 9.98 9.95 10.05 10.05 9.96 10.12 经计算得 20 1 1 9.96 20 i i xx ， 2020 222 11 11 ()(20)0.19 2020 ii ii sxxxx 其中 i x为抽取的第i件药品的主要药理成分含量，1i ，2，20用样本平均数x作为的估计值 ，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？ （）假设生产状态正常，记X表示某天抽取的 20 件产品中其主要药理成分含量在(3 ,3 ) 之外的药品件数，求(1)P X 及X的数学期望 附：若随机变量Z服从正态分布 2 ( ,)N ，则(33 )0.9974PZ， 19 0.99740.95 20（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，过点 1 F的直线与C交于,A B两 点 2 ABF的周长为4 2，且椭圆的离心率为 2 2 （）求椭圆C的标准方程； （）设点P为椭圆C的下顶点，直线,PA PB与2y 分别交于点,M N，当MN最小时，求直线 AB的方程 A F D EB C 21（本小题满分 12 分） 已知函数( )1 ax f xex ,且( )0f x （）求a； （）在函数( )f x的图象上取定两点 11 ( , ( )A x f x， 22 (,()B xf x 12 ()xx，记直线AB的斜率为 k，问：是否存在 012 ( ,)xx x，使 0 ()fxk成立？若存在，求出 0 x的值（用 21,x x表示）；若不存 在，请说明理由 请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂 黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。 22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程 为 222 cos3sin12，直线l的参数方程为 2xt yt （t为参数），直线l与曲线C交于,M N 两点 （）若点P的极坐标为2,，求PMPN的值； （）求曲线C的内接矩形周长的最大值 23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ,f xx xa aR （）当 224ff时，求a的取值范围； （）若0a ，,x ya ，不等式 3f xyya恒成立，求a的取值范围 高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 1 页 共 6 页 高 2020 级高三（下）3 月月考 理科数学参考答案 高 2020 级高三（下）3 月月考 理科数学参考答案 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D C B B B A D B D B D 10由题意39 ABC S,2, 32 11 OOAO,设P到平面ABC的高为h,则由312V 得4h,所以点P在小圆 2 O（如图所示， 圆 1 O与圆 2 O所在平面平行） 上运动，2 2 OO， 所以32 2 PO，所以72 2 21 2 21 OOPOPO 11联立 0 00 1 1 222 y x ayax aybx 或 2 2 2 2 3 2 2 2 c ba y c a x ， 则 2 2 2 3 2 , 2 c ba c a E 因为存在以O为圆心的圆与线段EF相切于其中点，所以OFOE ， 所以c c ba c a 2 2 2 2 2 3 22 ，化简即得2e 12当0x时，)1 ()( 1 xexf x ，所以当10 x时，0)( x f，)(xf单调递增；当 1x时，0)( x f，)(xf单调递减， 且0)0(f， 当x时，0)(xf 当0x时， )(xf单调递减，所以)(xf的图象如图所示： 令 xft ，则由上图可知当0t或1时，方程 xft 有两个实数根；当1 , 0t时， 方程 xft 有三个实数根；当, 10 ,t时，方程 xft 有一个实数根 所以关于x的方程 22 0fxaf xaa有四个不等的实数根等价于关于t的方程 0 22 aaatt有两个实数根1, 0 21 tt或者, 10 ,1 , 0 21 tt 当1, 0 21 tt解得1a；当, 10 ,1 , 0 21 tt时， 01100 2222 aaaaaa，解得01a综上所述， 10 , 1a 高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 2 页 共 6 页 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 5 2 2021 505 9 16 15由题意02 2 nn SnnS，因为 n a各项均为正数，所以0 n S，可得 nnSn 2 ，所以nan2 1 11 4 1 14 11 1 nnnnaa nn ， 所以 2021 505 2021 1 2020 1 . 3 1 2 1 2 1 1 4 1 2020 T 16由对称性，不妨设A在一象限，设直线AB的倾斜角为，由BFAF3得 cos1 3 cos1 pp 得 2 1 cos，所以 3 2 , 3 2 , 2MFBFAF记AB与l的交点为 S，x轴与l的交点为R，则2 cos RF SF，, 3 9 8 tan , 3 3 2 tan SM MQ SF FP所 以 9 16 MQFP 三、解答题：（共 70 分） 17解：（）由正弦定理可知：)sin3(cossinsinAABC 1 分 又因为ABC中CBA，故)sin(sinBAC 2 分 )sin3(cossin)sin(AABBA ABABBABAsinsin3cossinsincoscossin ABBAsinsin3cossin 4 分 又因为A为ABC的内角，故0sinA BBsin3cos，(0, )B， 6 B 6 分 （）如图， 6 3 BAD，则32 sin B AD ABc 9 分 又4a，在ABC中，由余弦定理得： 4cos2 222 Baccab 2 b 故三角形的周长. 326cba 12 分 18解：（）因为ABDE ，所以EFDEEBDE,， 所以DE平面BEF，所以BFDE 2 分 因为22 EBAE，所以1, 2EBEF，又 o 60FEB， 由余弦定理得：3cos2 22 FEBEBEFEBEFBF， 所以 222 BFEBEF，所以EBFB 4 分 由得BF平面BCDE，所以平面BFC平面BCDE 5 分 高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 3 页 共 6 页 （）建系如图，设aDE ，则3, 0 , 0,0 , 0 , 1,0 , 1FEaD，3, 1 aDF 因为直线DF与平面BCDE所成角的正 切 值 为 15 5 ， 所 以 直 线DF与 平 面 BCDE所成角的所成角的正弦值为 4 6 ， 又1 , 0 , 0n为平面BCDE的法向量， 所以 4 6 ,cos DFn DFn DFn，即 4 6 4 3 2 a ，解得2a 7 分 所以0 , 2 , 2,0 , 2 , 1CD，则3, 2, 1,0 , 2 , 0DFED， 设平面EDF的法向量zyxm,，则 zx y zyx y mDF mED 3 0 032 02 0 0 ， 取1z得1 , 0 , 3m， 9 分 同理可取平面DFC的法向量2 , 3, 0p， 10 分 所以 7 7 72 2 ,cos pm pm pm， 11 分 所以 7 42 ,sinpm，即得二面角EDFC的正弦值为 7 42 12 分 19 解： （） 由9.96x ，0.19s ， 得的估计值为9.96，的估计值为0.19， 由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分(9.22)含量在(3，3 )(9.39， 10.53)之外，因此需对本次的生产过程进行检查 5 分 （）抽取的一件药品的主要药理成分含量在(3 ,3 ) 之内的概率为 0.9974， 从而主要药理成分含量在(3 ,3 ) 之外的概率为 0.0026，故(20,0.0026)XB 因此 119 20 (1)(0.9974)0.0026200.950.00260.0494P XC， 10 分 X的数学期望为200.00260.052E X 12 分 20解：（）由题意可得：44 2,22,11 c aacb a 2 2 :1 2 x Cy 4 分 （）点0, 1P， 1 1,0F ，设 1122 ,A x yB xy，则 显然直线AB与x轴不重合，设:1AB xmy，则可知1m 由 22 1 22 xmy xy 得 22 2210mymy 1212 22 21 , 22 m yyy y mm 高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 4 页 共 6 页 直线 111 :10PAyxx yx，令2y ，可得 1 1 3 1 M x x y ， 6 分 同理 2 2 3 1 N x x y ， 7 分 1221 12 1212 111133 3 1111 myymyyxx MN yyyy 12 1212 1 3 1 myy y yyy 2 2 22 22 1241 36 2 12221 1 22 mmm mmmm mm ， 9 分 当0m 时，6 2MN ； 当0m时， 2 11 6 26 2 22 11 1 1 MN m m m m ， 由于 1 , 22,m m ，则 11 ,11, 2 2 1 1 m m ， 11 分 此时MN的最小值为66 2，在1m 处取得. 综上，当MN最小时，直线:1AB xy，即1yx. 12 分 21解：（）若0a ，则对一切0 x ，( )f x10 ax ex ，这与题设矛盾； 若0a ， ( )1, ax fxae令 11 ( )0,ln.fxx aa 得 当 11 lnx aa 时，( )0, ( )fxf x单调递减； 当 11 lnx aa 时，( )0,( )fxf x单调递增， 故当 11 lnx aa 时，( )f x取最小值 11111 (ln)ln1.f aaaaa 于是对一切, ( )0 xR f x恒成立，当且仅当 111 ln10 aaa . 令( )ln1,g tttt 则( )ln .g tt 当01t 时，( )0, ( )g tg t单调递增；当1t 时，( )0, ( )g tg t单调递减. 故当1t 时，( )g t取最大值(1)0g.因此，当且仅当 1 1 a 即1a 时，式成立. 综上所述，1a . 5 分 高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 5 页 共 6 页 （）由题意知， 21 21 2121 ()( ) 1. xx f xf xee k xxxx 令 21 21 ( )( ), xx x ee xfxke xx ( )yx在区间 12 ,x x上单调递增； 且 1 21 () 121 21 ( )() 1 , x xx e xexx xx