勾股定理逆定理及综合应用

勾股定理逆定理及综合应用教学目标：掌握勾股定理逆定理，并能结合勾股定理进行综合应用.教学内容解析：1勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形2. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数常用的勾股数 有3、4、5；6、8、10；5、12、13等.3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和，再把它和最大边的平方比较.4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即 去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.例题解析：【例1】如图，已知四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定ACD是直角三角形.解：连接AC，在RtABC中，AC2=AB2BC2=3242=25， AC=5.在ACD中， AC2CD2=25122=169，而 AB2=132=169， AC2CD2=AD2， ACD=90故S四边形ABCD=SABCSACD=ABBCACCD=34512=630=36.答：四边形ABCD的面积为：36.【例2】如下图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离B艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）ABC是什么类型的三角形？（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.解：设MN交AC于E，则BEC=900.又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，ABC是直角三角形，ABC=900.又MNCE，走私艇C进入我领海的最近距离是线段CE的长，则CE2+BE2=144，（13-CE）2+BE2=25，得26CE=288，CE=， 13=0.85（小时）， 0.8560=51（分）.9时50分+51分=10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.【例3】如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.解：设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，AB=10+x=12（米）答：树高AB为12米。【例4】如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10，宽为4，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)并在AD上平行移动：能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.解：设AP=x，则根据题意可得化简可得解得x=2或8答：存在，AP=2或8.过点E作BC边的垂线可转化为，解得AP=4.【例5】如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问AEF是什么三角形？请说明理由.解：由勾股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=20，AE2= EF2 +AF2，AEF是直角三角形.【例6】如图，已知等腰ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求ABC的周长.解：由BD2+DC2=122+162=202=BC2，得CDAB，又AC=AB=BD+AD=12+AD，在RtADC中，AC2=AD2+DC2，即(12+AD)2=AD2+162，解得AD=，故ABC的周长为：2AB+BC=cm【例7】如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度数解：如下图，将APC