初中数学抛物线与几何专题训练及答案

全国各地中考试题压轴题精选讲座抛物线与几何问题【知识纵横】 抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：(a0)；2、顶点式：y =a(xh) 2k；3、交点式：y=a(xx 1)(xx 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。 解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。【典型例题】【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：顶点为Q；与x轴相交于B，C两点（OBOC），连结A，B。（1）是否存在这样的抛物线F， ？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQBC，且tanABO=，求抛物线F对应的二次函数的解析式。【思路点拨】（1）由关系式来构建关于t、b的方程；(2)讨论t的取值范围，来求抛物线F对应的二次函数的解析式。【例2】(江苏常州)如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.（1）求点A的坐标;（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围. 【思路点拨】（3）可求得直线的函数关系式是y=-2x，所以应讨论当点P在第二象限时，x0这二种情况。BOAPM【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动（1）求线段所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点的横坐标为,用的代数式表示点的坐标；当为何值时，线段最短；（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】（2）构建关于的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点落在直线的下方时、当点落在直线的上方时讨论。【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积.【思路点拨】（2）可先以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形时，求F点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。（3）讨论当直线MN在x轴上方时、当直线MN在x轴下方时二种情况。（4）构建S关于x的二次函数，求它的最大值。【例5】（山东济南）已知：抛物线(a0)，顶点C (1，)，与x轴交于A、B两点，（1）求这条抛物线的解析式（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PMAE于M，PNDB于N，请判断是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由COxADPMEBNy（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FGEP ，FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断是否成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由【思路点拨】（2）证APMABE，同理: （3）证PH=BH且APMPBH再证MEPEGF可得。【学力训练】1、（广东梅州）如图所示，在梯形ABCD中，已知ABCD， ADDB，AD=DC=CB，AB=4以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系（1）求DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由） 2、（广东肇庆）已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求ABC的面积；（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.3、（青海西宁）如图，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点yxOABMO1（1）求二次函数的解析式；（2）求切线的函数解析式；（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由AOxyBFC4、（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由5、（四川资阳）如图，已知点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线（1）求抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D，连结BD，求直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDBCBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由yxODECFAB6、（辽宁沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点（1）判断点是否在轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由7、（苏州市）如图，抛物线ya(x1)(x5)与x轴的交点为M、N直线ykxb与x轴交于P(2，0)，与y轴交于C若A、B两点在直线ykxb上，且AO=BO=，AOBOD为线段MN的中点，OH为RtOPC斜边上的高(1)OH的长度等于_；k_，b_；(2)是否存在实数a，使得抛物线ya(x1)(x5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PBPG，写出探索过程AHCBy-2MODNxP 抛物线与几何问题的参考答案【典型例题】【例1】 (浙江杭州)（1） 平移的图象得到的抛物线的顶点为, 抛物线对应的解析式为:. 抛物线与x轴有两个交点，. 令, 得，, )( )| ,即, 所以当时, 存在抛物线使得.- 2分(2) , , 得: ,解得. 在中,1) 当时,由 , 得, 当时, 由, 解得, 此时, 二次函数解析式为; 当时, 由, 解得, 此时，二次函数解析式为 + +. 2) 当时, 由 , 将代, 可得, ,（也可由代，代得到）所以二次函数解析式为 + 或. 【例2】(江苏常州) （1）A(-2,-4)（2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)四边形ABOP2为等腰梯形时，P1()四边形ABP3O为直角梯形时，P1()四边形ABOP4为直角梯形时，P1()（3） 由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x当点P在第二象限时，x0,过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A、P则四边形POAA的面积AAB的面积， 即 x的取值范围是BOAPM（第24题）【例3】（浙江丽水）（1）设所在直线的函数解析式为，（2，4），, ,所在直线的函数解析式为（2）顶点M的横坐标为，且在线段上移动， （02）.顶点的坐标为(,).抛物线函数解析式为.当时，（02）.点的坐标是（2，）. =， 又02，当时，PB最短（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.假设在抛物线上存在点，使. 设点的坐标为（，）.当点落在直线的下方时，过作直线/，交轴于点，DOABPMCE，点的坐标是（0，）.点的坐标是（2，3），直线的函数解析式为.，点落在直线上.=.解得，即点（2，3）.点与点重合.此时抛物线上不存在点，使与的面积相等.当点落在直线的上方时，作点关于点的对称称点，过作直线/，交轴于点，、的坐标分别是（0，1），（2，5），直线函数解析式为.，点落在直线上.=.解得：，.代入，得，.此时抛物线上存在点，使与的面积相等. 综上所述，抛物线上存在点， 使与的面积相等.【例4】（广东省深圳市）（1）方法一：由已知得：C（0，3），A（1，0） 将A、B、C三点的坐标代入得 解得： 所以这个二次函数的表达式为： （2）存在，F点的坐标为（2，3） 易得D（1，4），所以直线CD的解析式为：E点的坐标为（3，0） 以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形F点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，3）符合存在点F，坐标为（2，3） （3）如图，当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R0），则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得 当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r0），则N（r+1，r），代入抛物线的表达式，解得圆的半径为或 （4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，3），直线AG为设P（x，），则Q（x，x1），PQ 当时，APG的面积最大此时P点的坐标为， 【例5】（山东济南） (1)设抛物线的解析式为 将A(1，0)代入: 抛物线的解析式为，即：（2）是定值， AB为直径， AEB=90， PMAE， PMBE APMABE， 同理: + : （3） 直线EC为抛物线对称轴， EC垂直平分AB EA=EB AEB=90 AEB为等腰直角三角形 EAB=EBA=45 7分如图，过点P作PHBE于H，由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形，PH=ME且PHME在APM和PBH中AMP=PHB=90， EAB=BPH=45 PH=BH且APMPBH 在MEP和EGF中， PEFG， FGE+SEG=90MEP+SEG=90 FGE=MEP PME=FEG=90 MEPEGF 由、知：【学力训练】1、（广东梅州）（1） DCAB，AD=DC=CB， CDB=CBD=DBA， DAB=CBA， DAB=2DBA， DAB+DBA=90， DAB=60， DBA=30，AB=4， DC=AD=2， RtAOD，OA=1，OD=， A（-1，0），D（0， ），C（2， ）（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（1，0），B（3，0），故可设所求为 = （+1）（ -3）将点D（0， ）的坐标代入上式得， =所求抛物线的解析式为 = 其对称轴L为直线=1（3） PDB为等腰三角形，有以下三种情况：因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B， P1DB为等腰三角形； 因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB为等腰三角形；与同理，L上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5 由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个2、（广东肇庆）（1）由5=0，（1分）得，抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）（3分）（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有=S - - =-=5（个单位面积）（3）如： 事实上， =45a2+36a 3（）=35（2a）2+122a-（5a2+12a） =45a2+36a 3、（青海西宁）（1）圆心的坐标为，半径为1，1分二次函数的图象经过点，可得方程组解得：二次函数解析式为（2）过点作轴，垂足为 是的切线，为切点，（圆的切线垂直于经过切点的半径）yAHFMOP1P2O1xB在中，为锐角，在中，点坐标为设切线的函数解析式为，由题意可知，切线的函数解析式为（3）存在过点作轴，与交于点可得（两角对应相等两三角形相似），过点作，垂足为，过点作，垂足为可得（两角对应相等两三角开相似）在中，在中，符合条件的点坐标有，4、（辽宁12市）解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，点都在抛物线上， 抛物线的解析式为顶点（2）存在AOxyBFC图9HBM（3）存在理由：解法一：延长到点，使，连接交直线于点，则点就是所求的点 过点作于点点在抛物线上，在中，在中，设直线的解析式为 解得 解得 在直线上存在点，使得的周长最小，此时5、（四川资阳） (1) 以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，OCA+OCB=90，又OCB+OBC=90，图10OCA=OBC，又AOC= COB=90，AOC COB，又A(1，0)，B(9，0)，解得OC=3(负值舍去)C(0，3)，设抛物线解析式为y=a(x+1)(x9)，3=a(0+1)(09)，解得a=，二次函数的解析式为y=(x+1)(x9)，即y=x2x3 (2) AB为O的直径，且A(1，0)，B(9，0)，OO=4，O(4，0)，点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D，BCD=BCE=90=45，连结OD交BC于点M，则BOD=2BCD=245=90，OO=4，OD=AB=5D(4，5)图10答案图1设直线BD的解析式为y=kx+b（k0）解得直线BD的解析式为y=x9.(3) 假设在抛物线上存在点P，使得PDB=CBD，设射线DP交O于点Q，则分两种情况(如答案图1所示)：O(4，0)，D(4，5)，B(9，0)，C(0，3)把点C、D绕点O逆时针旋转90，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，因此，点Q1(7，4)符合，D(4，5)，Q1(7，4)，用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x解方程组得点P1坐标为(，)，坐标为(，)不符合题意，舍去Q1(7，4)，点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2(7，4)也符合D(4，5)，Q2(7，4)用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x17解方程组得点P2坐标为(14，25)，坐标为(3，8)不符合题意，舍去符合条件的点P有两个：P1(，)，P2(14，25)6、（辽宁沈阳）（1）点在轴上理由如下：连接，如图所示，在中，由题意可知：点在轴上，点在轴上（2）过点作轴于点，在中，点在第一象限，点的坐标为由（1）知，点在轴的正半轴上点的坐标为点的坐标为抛物线经过点，由题意，将，代入中得 解得所求抛物线表达式为：（3）存在符合条件的点，点10分理由如下：矩形的面积以为顶点的平行四边形面积为由题意可知为此平行四边形一边，又边上的高为2依题意