江苏省苏州市2017-2018学年高二下学期学业质量阳光指标调研数学(理)试题含答案

苏州市2018年学业质量阳光指标调研卷高二数学（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答卷卡相应的位置.1.已知复数（为虚数单位），则 2.双曲线的离心率为 3.函数的极值点为，则 4.“”是“”的 条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）5.现有5个人排成一排，则甲恰在正中间的排法有 种（用数字作答）6.抛物线上位于第一象限内的一点到焦点的距离是3，则该点坐标是 7.若离散型随机变量的分布列为012则的数学期望 8.若（为正整数且），则 9.已知，则的值是 10.已知圆的圆心在直线上，且经过，两点，则圆的标准方程是 11.如图，在体积为的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为，则 12.若函数在其定义域上单调递减，则称函数是“函数”.已知是“函数”，则实数的取值范围是 13.过曲线上的点向圆：作两条切线，切点为，且，若这样的点有且只有两个，则实数的取值范围是 14.已知，函数，若存在一条直线与曲线和均相切，则使不等式恒成立的最小整数的值是 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱锥中，是正三角形，分别为，的中点，.求证：（1）平面；（2）.16.某公司年会举行抽奖活动，每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下：一只盒子里装有大小相同的6个小球，其中3个白球，2个红球，1个黑球，抽奖时从中一次摸出3个小球，若所得的小球同色，则获得一等奖，奖金为300元；若所得的小球颜色互不相同，则获得二等奖，奖金为200元；若所得的小球恰有2个同色，则获得三等奖，奖金为100元.（1）求小张在这次活动中获得的奖金数的概率分布及数学期望；（2）若每个人获奖与否互不影响，求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率.17.已知，.（1）当时，求展开式中的常数项；（2）若二项式的展开式中含有的项，当取最小值时，展开式中含的正整数次幂的项的系数之和为10，求实数的值.18.如图，在正三棱柱中，底面的边长为2，侧棱长为4，是线段上一点，是线段的中点，为的中点.以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）若，求直线和平面所成角的正弦值；（2）若二面角的正弦值为，求的长.19.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦点到相应准线的距离为，分别为椭圆的左顶点和下顶点，为椭圆上位于第一象限内的一点，交轴于点，交轴于点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求的值；（3）求证：四边形的面积为定值.20.已知函数，为的导函数，其中.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若方程有三个互不相同的根0，其中.是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.苏州市2018年学业质量阳光指标调研卷高二数学（理科附加）A组（选修4-2：矩阵与变换）A1若圆：在矩阵对应的变换下变成椭圆：.（1）求，的值；（2）求矩阵的逆矩阵.A2已知，为矩阵的两个特征向量.（1）求矩阵；（2）若，求.B组（选修4-4：坐标系与参数方程）B1在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.（1）分别写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若直线与圆相切，求实数的值.B2在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（其中为参数，）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，等边的顶点都在上，且点，依逆时针次序排列，点的极角为.（1）求点，的直角坐标；（2）设为上任意一点，求点到直线距离的取值范围.苏州市2018年学业质量阳光指标调研卷高二数学（理科）参考答案一、填空题1. 2. 2 3. 4. 必要不充分 5. 24 6. 7. 8. 6 9. 100 10. 11. 12. 13. 14. 3二、解答题15.证：（1）因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）连结，因为，又，所以.又，为的中点，所以，又，所以平面.因为平面，所以.16.解：（1）小张在这次活动中获得的奖金数的所有可能取值为100，200，300.，（或）所以奖金数的概率分布为100200300奖金数的数学期望（元）.（2）设3个人中获二等奖的人数为，则，所以，设该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖为事件，则.答：该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为.17.解：二项式的展开式通项为，（1）当，时，的展开式的常数项为.（2）令，则，所以的最小值为6，当时，二项式的展开式通项为，则展开式中含的正整数次幂的项为，它们的系数之和为，即，解得或.18.解：根据题意得，所以，（1）当是线段的中点时，设平面的一个法向量为，则，得，即，取，得，设和平面所成角为，则，所以和平面所成角的正弦值为.（2）设，则，设平面的一个法向量为，则，得，即，取，得，显然是平面的一个法向量，设二面角的大小为，则，所以，解得或3，所以的长为1或3.19.解：（1）设右焦点，因为椭圆的离心率为，所以，又因为右焦点到右准线的距离为，所以，由得，所以椭圆的标准方程是.（2）因为，所以，直线的方程为，由，得，解得（舍）或，可得，直线的方程为，令，得，所以.（3）设，则，即.直线的方程为，令，得.直线的方程为，令，得.所以四边形的面积为定值.20.解：（1）当时，令，得或，所以的单调增区间为和；令，得，所以的单调减区间为.（2）由题意知，是方程的两个实根，所以，得.且，由成立得，化简得，代入得，即，解得，因为，所以这样的实数不存在.因为对任意的，恒成立.由，且，1.当时，有，所以对，所以，解得.所以.2.当时，有，其判别式.由，得或，此时存在极大值点，且.由题得，将代入化简得，解得.因此.综上，的取值范围是.理科附加题A1解：设点为圆：上任意一点，经过矩阵变换后对应点为，则，所以，代入椭圆方程得，又圆方程为，故，即，又，所以，.（2）设，则，即，所以，解得，所以.A2解：（1）设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，则由，得，即，可解得，所以.（2）因为，所以.B1解:（1）直线的直角坐标系方程是，圆的直角坐标方程