江苏省南京师大附中江宁分校高二下学期期末调研数学试卷

高二年级期末考试数学复习试卷数学I试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。 1. 已知集合，则_。 2. 如果复数是实数，则实数_。 3. 已知，则的值为_。 4. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P的横、纵坐标，则点P在直线上的概率为_。 5. 已知函数，则的值为_。 6. 执行下边的程序框图，若，则输出的_。 7. 直线平分圆的周长，则_。 8. 等比数列的各项均为正数，前三项的和为21，则_。 9. 已知实数满足，若在处取得最小值，则此时_。 10. 在R上定义运算：，则满足的实数的取值范围是_。 11. 在ABC中，BAC=90，AB=6，D为斜边BC的中点，则的值为_。 12. 已知函数，则该函数的值域为_。 13. 把数列的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则可记为_。 14. 如图放置的边长为1的正三角形PAB沿轴滚动，设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积记为S，则S=_。二、解答题：本大题共6小题，共计90分。解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （本小题满分14分）在ABC中，AB=，BC=1，。（1）求的值；（2）求的值。 16. （本小题满分14分）如图，矩形ABCD中，AD平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF平面ACE。（1）求证：AE平面BCE；（2）求证：AE平面BFD。 17. （本小题满分14分）如图，在半径为的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为。（1）写出体积V关于的函数关系式；（2）当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？ 18. （本小题满分16分）已知函数的定义域为（0，），且，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线和轴的垂线，垂足分别为M、N。（1）求的值；（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，请说明理由；（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值。 19. （本小题满分16分）已知椭圆的左、右顶点分别A、B，椭圆过点（0，1）且离心率。（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上异于A，B两点的任意一点P作PH轴，H为垂足，延长HP到点Q，且PQ=HP，过点B作直线轴，连结AQ并延长交直线于点M，N为MB的中点，试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系。 20. （本小题满分16分）已知等差数列中，令，数列的前项和为。（1）求数列的通项公式；（2）求证：；（3）是否存在正整数，且，使得，成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。数学II（附加题）B. 选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知二阶矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A。C. 选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知直线的参数方程：（为参数）和圆C的极坐标方程：，判断直线和C的位置关系。必做题第22题，第23题，每题10分，共计20分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22. （本小题满分10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，BAD=90，PA平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4，求二面角的余弦值。23. (本小题满分10分) 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑 球现从甲、乙两个盒内各任取2个球。 （1）求取出的4个球均为黑球的概率； （2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率； （3）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列，并求其数学期望E（）。【试题答案】数学I试题一、填空题： 1. 2. 13. 4. 5. 26. 7. 5 8. 1689. （1，0）10. （2，1）11. 1812. 1，2 13. （10，495）14. 二、解答题 15. 解：（1）在ABC中，由正弦定理得：，即，。（7分）（2）由余弦定理可得：（舍）。（14分） 16. 证明：（1）AD平面ABE，AE平面ABE，ADAE，在矩形ABCD中，有ADBC，BCAE。BF平面ACE，AE平面ABE，BFAE，又BFBC=B，BF，BC平面BCE，AE平面BCE。（7分）（2）设ACBD=H，连接HF，则H为AC的中点。BF平面ACE，CE平面ABE，BFCE，又因为AE=EB=BC，所以F为CE上的中点。在AEC中，FH为AEC的中位线，则FHAE又AE平面BFE，而FH平面BFE， AE平面BFD。（14分） 17. 解：（1）连结OB，设圆柱底面半径为，则，即，所以，其中。（7分）（2）由，得因此在（0，）上是增函数，在（，30）上是减函数。所以当时，V有最大值。（14分） 当且仅当，即时取等号，故四边形OMPN面积的最小值。（16分） 19. 解：（1）因为椭圆经过点（0，1），所以，又椭圆的离心率得，即，由得，所以，故所求椭圆方程为。（6分）（2）设，则，设，HP=PQ，即，将代入得，所以Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上。又A（2，0），直线AQ的方程为，令，则，又B（2，0），N为MB的中点，直线QN与圆O相切。（16分） 20. 解：（1）设数列的公差为，由，。解得，。（4分）（2），。（8分）（3）由（2）知，成等比数列，即当时，符合题意；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，则，而，所以，此时不存在正整数，且，使得，成等比数列。综上，存在正整数，且，使得，成等比数列。（16分）数学II（附加题） 21. 选做题B. 选修42：矩阵与变换解：设，则，C. 选修44：坐标系与参数方程解：直线消去参数，得直线的直角坐标方程为；即，两边同乘以得，得C的直角坐标方程为：，圆心C到直线的距离，所以直线和C相交。 22. 必做题