三角形全等的证明.ppt

三角形全等的判定,一、边角边（SAS）,二、角边角(ASA),三、角角边(AAS),四、边边边(SSS),五、综合练习,制作人：王一豹,2.叫做全等三角形。,1.能够重合的两个图形叫做。,全等形,4.全等三角形的和相等,对应边,对应角,对应顶点,复习提问,能够重合的两个三角形,3.“全等”用符号“”来表示，读作“”,对应边,对应角,5.书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上,全等于,全等三角形的判定（一）,SAS（边角边定理),画ABC,使AB=3cm，AC=4cm。,画法：,2.在射线AM上截取AB=3cm,3.在射线AN上截取AC=4cm,这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比较，它们互相重合吗？,若再加一个条件，使A=45，画出ABC,1.画MAN=45,4.连接BC,则ABC就是所求的三角形,把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？,画一画,再任意画一个ABC和DEF，使AB=DE,AC=DF,A=D,把画好的ABC和DEF比较，它们全等吗？,D,E,F,ABCDEF,由前边的作图比较过程，我们可以得出什么结论？,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中,AB=DEA=DAC=DF,ABCDEF（SAS）,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”,图1,已知：如图1，AC=AD，CAB=DAB求证：ACBADB,AC=AD（已知）,CAB=DAB（已知）AB=AB（公共边）ACBADB（SAS）,例1,证明：在ACB和ADB中,例题讲解,图2,已知：如图2，ADBC，AD=CB求证：ADCCBA,分析：观察图形，结合已知条件，知，,AD=CB，AC=CA，但没有给出两组对应边的夹角（1，2）相等。,所以，应设法先证明1=2，才能使全等条件充足。,AD=CB（已知）1=2（已知）AC=CA（公共边）ADCCBA（SAS）,例2,证明：ADBC1=2（两直线平行，内错角相等）在DAC和BCA中,D,C,1,A,B,2,B,动态演示,图3,已知：如图3，ADBC，AD=CB，AE=CF求证：AFDCEB,证明：ADBC（已知）A=C（两直线平行，内错角相等）又AE=CFAE+EF=CF+EF（等式性质）即AF=CE在AFD和CEB中,AD=CB（已知）A=C（已证）AF=CE（已证）AFDCEB（SAS）,若求证D=B，如何证明？,分析：本题已知中的前两个条件，与例2相同，但是没有另一组夹边对应相等的条件，不难发现图3是由图2平移而得。利用AE=CF，可得：AF=CE,变式训练1,问：,动态演示,练习：已知：如图4，点A、B、C、D在同一条直线上，AC=DB，AE=DF，EAAD，BCAC，垂足分别为A、D,图4,求证：（1）EABFDC、（2）DF=AE,解题小结：,解题思路,1、根据“边角边（SAS）”条件，可证明两个三角形全等；,2、再由“全等”作为过渡的条件，得到对应边等或对应角等；,图5,变式训练2已知：如图5：AB=AC，AD=AE，1=2求证：ABDACE,证明：1=2（已知）1+BAE=2+BAE（等式性质）即CAE=BAD,在CAE和BAD中,AC=AB（已知）CAE=BAD（已证）AE=ADABDACE（SAS）,分析：两组对应夹边已知，缺少对应夹角相等的条件。由BAE是两个三角形的公共部分，可得：CAE=BAD。,变式训练2：拓展,（1）求证：E=D（2）若ACE绕点A逆时针旋转，使1=900时，直线EC，BD的位置关系如何？给出证明。,当EAD为平角时呢？,图5,已知：如图5：AB=AC，AD=AE，1=2,1,2,解题小结：,解题思路,1、根据“边角边（SAS）”条件，可证明两个三角形全等；,2、再由“全等”作为过渡的条件，得到对应边等或对应角等；,3、由“边”等，再根据等式性质得到其它线段相等；由“角”等，再证明两直线平行、两直线垂直或延伸的外角和等变换。,1在证明三角形全等时，要善于观察图形，运用已学知识挖出隐含条件。,总结概括，知识拓宽,2明确全等三角形“边角边”公理的运用方法。,全等三角形的判定（二）,ASA（角边角定理）,创设情景,实例引入,一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？,怎么办？可以帮帮我吗？,C,B,E,A,D,先任意画出一个ABC，再画一个A/B/C/，使A/B/=AB，A/=A，B/=B。把画好的A/B/C/剪下，放到ABC上，它们全等吗？,探究1:,已知：任意ABC，画一个A/B/C/，使A/B/AB，A/=A，B/=B：,画法：,2、在A/B/的同旁画DA/B/=A，EB/A/=B，A/D，B/E交于点C/。,1、画A/B/AB；,A/B/C/就是所要画的三角形。,问：通过实验可以发现什么事实？,引入新课：,作图：已知：ABC，(让同学们自己画）再画一个三角形A/B/C/,使B/C/=BC,B/=B,C/=C.,1、画线段A/B/=AB2、在A/B/的同旁，分别以A/、B/为顶点画DA/B/=A,EB/A/=B,A/D、B/E交于点C/,得A/B/C/,现在同学们把我们所画的两个三角形重合在一起，你发现了什么？,完全重合,角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写为“ASA”),讲解新课：,例1、已知：如图，DAB=CAB，C=D求证：AC=AD,证明：,DAB=CAB，C=D,ABD=ACD(三角形内角和定理）,在ACB和ADB中,DAB=CABAB=AB（共用边）ABD=ACD,ACBADB（ASA),AC=AD,讲解新课:,例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于O点，AB=AC，B=C.求证：BD=CE,证明：在ABE和ACD中,A=AAB=ACB=C,ABEACD（ASA),AD=AE,AB=AC,BD=CE,讲解新课,如图，要证明ACEBDF,根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。,AC=BD,A=B,C=D,AC=BD,A=B,AEC=BFD,课堂练习,1、如右图：已知，ABE=CBD,BCE=DBA,EC=AD求证：AB=BE,BC=DB2、如右图：已知，AD,EF,BC交于O，且AO=OD，BO=OC，EO=OF求证：AEBDFC,变式练习：,全等三角形的判定（三）,AAS（角角边定理）,定理的引入:,如图在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF，ABC与DEF全等吗？,证明：A+B+C=180D+E+F=180又A=DB=EC=F,C=FBC=EFB=E,ABCDEF(ASA),如图所示，ABCDEF,那么角角边定理得证。,三角形的判定定理三,在两个三角形中，如果有二个角和任意一条边相等，那么这两个三角形全等。,A=DB=EBC=EF,ABCDEF(AAS),例题讲解：,例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AD=AE，B=C。求证：BD=CE,巩固练习,如图，1=2，D=C求证：AC=AD,证明：在_和_中_（）_（）_（公共边）_（）_（全等三角形对应边相等）,ABD,ABC,1=2,D=C,AB=AB,ABD,ABC,AC=AD,已知,已知,AAS,全等三角形的判定（四）,SSS（边边边定理）,定理的引入:,A,B,C,D,已知：AC=DEAB=DFBC=FE求证：ABCDFE,E,思考,F,定理的引入:,A,B,C,D,已知：AC=DCAB=DB求证：ABCDBC,证明：连接AD，AC=DCCAD=CDA同理，BAD=BDABAC=BDCAC=DCA=DAB=DBABCDBC（SAS）,A,C,D,B,如图所示，ABCDBC，那么边边边定理得证。,在两个三角形中，如果有三条边相等，那么这两个三角形全等。,三角形的判定定理四,AC=DCAB=DBBC=BC,ABCDBC（SSS）,例1：如图，已知AB=CD，BC=DA。说出下列判断成立的理由：（1）ABCCDA（2）B=D,A,B,C,D,解（1）在ABC和CDA中AB=CD（已知）BC=DA（已知）AC=CA（公共边）ABCCDA（SSS）（2）ABCCDAB=D（全等三角形的对应角相等）,练习1如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，ABDE，ACDF，BECF。求证：AD。,证明：BECF（已知）,即BCEF,在ABC和DEF中,ABDE（已知）,ACBF（已知）,BCEF（已证）,ABCDEF（SSS）,AD(全等三角形对应角相等）,小结：欲证角相等，转化为证三角形全等。,BE+EC=CF+EC,例2，如图，已知ABCD，ADCB，求证：BD,证明：连结AC,ABCD（已知）,ACAC（公共边）,BCAD（已知）,ABCCDA（SSS）,BD（全等三角形对应角相等）,在ABC和ADC中,问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？,在原有条件下，还能推出什么结论？,答：ABCADC，ABCD，ADBC,小结：四边形问题转化为三角形问题解决。,一定（SAS）,不一定,一定(ASA),一定(AAS),不一定,一定(SSS),归纳：二个三角形全等的判定方法,五、综合练习题全等三角形的应用,：利用全等三角形证明线段（或角）相等,例1：如图，直线AC、BD交于点O，OA=OCOB=OD直线EF过点O且分别交AB、CD于E、F,求证：OE=OF,在AOB和COD中OB=ODAOB=CODOA=OCAOBCOD（SAS）B=D（全等三角形的对应角相等）在BOE和DOF中B=DOB=ODBOE=COFBOEDOF（ASA）OE=OF（全等三角形的对应边相等）,证明,AB=DC,AC=DB,BC=CB,证明：,在ABC和DCB中,如图：AB=DC，AC=DB求证：ABO=DCO,ABCDCB,（SSS）,A=D(全等三角形的对应角相等),在AOB和DOC中,A=DAOB=DOCAB=CD,AOBDOC,（AAS）,ABO=DCO（全等三角形的对应角相等）,巩固练习：如图：ACBCADBD，AD=BCCEABDFAB，垂足分别为E、F，求证：CE=DF,分析：,由已知可推出ABCBAD,要证CE=DF，需证ACEADF，所缺条件可由ABCBAD推出,二：利用全等三角形证明线的垂直关系,证明：,例：如图：BF是RtABC的角平分线，ACB=90，CD是高，BF与CD交于点E，EGAC交AB于G求证：FGAB,BF平分ABC,12,CDAB3+ABC=90又ACB90A+ABC=903A,又EGACA434,在BEG与BEC中1234BEBEBEGBEC,（AAS）,BG=BC（全等三角形的对应边相等）,在BFG与BFC中,BG=BC12BF=BF,BFGBFC（SAS）,FGB=FCB=90FGAB,巩固练习：如图：ABC中，AD平分BAC，DE、DF分