D102对坐标曲线积分

,第二节,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,二、对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,机动目录上页下页返回结束,对坐标的曲线积分,第十章,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,（一）定向曲线,曲线上动点的移动通常有两种，如果规定一种走向为,“正向”，那么另一种反向移动称为“负向”这种规定了,方向的曲线（即规定了正负向的曲线）称为定向曲线,定向曲线的定义,例规定曲线L沿A移动到B为正向，则L,是定向曲线，记,，则负向记为,注：确定定向曲线只需找到始点和终点,定向曲线的表示,注：非定向曲线参数表示为,这里一定有,而定向曲线表示当,从,连续变到,时，描出由点A,移动到点B的定向曲线L显然,都可能,定向曲线的切向量,光滑曲线上每一点都有切向量，而且都有两个方向，,对定向曲线的切向量也要定向，要求切向量的的方向总,与曲线的走向（曲线的方向）相一致,若曲线为,当,则切向量为,当,则切向量为,（二）对坐标的曲线积分的概念,设一质点受如下变力作用,在XOY平面内从点A沿光滑曲线弧L移动,常力沿直线所作的功,到点B,求移动过程中变力所作的功W.,机动目录上页下页返回结束,1引例:变力沿曲线所作的功.,(1)“大化小”.,(2)“常代变”,把L分成n个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,机动目录上页下页返回结束,(3)“近似和”,(4)“取极限”,其中为n个小弧段的最大长度,机动目录上页下页返回结束,2.定义.,设L为XOY平面内从A到B的一条有向曲线,在L上定义了一个向量函数,机动目录上页下页返回结束,在L上沿的L方向任意插入一点列,把L分成n个有向小弧段,记,点,为有向弧段,上任意一点,若极限,机动目录上页下页返回结束,存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为向量函数,或第二类曲线积分.,其中,L称为积分弧段,称为被积函数,或积分曲线.,称为对x的曲线积分;,称为对y的曲线积分.,(2),(1)由定义知,物理意义：,沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功,为方向为x-轴正向的力,沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功,力,注:,物理意义：,为方向为y-轴正向的力,沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功,物理意义：,故由第二类曲线积分的物理意义也得,(3),中,是有向弧在x-轴上的投影;,是有向弧在y-轴上的投影,而在对弧长的曲线积分中乘的是弧长,故(A),可正,可负(图2).,图3中,(B)定积分是第二类曲线积分的特例.,(C)对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,若为空间有向曲线弧,2*.定义,机动目录上页下页返回结束,向量函数,定义在有向曲线弧上.,若极限,存在.,在有向曲线弧上对,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,坐标的曲线积分,（三）性质,(2)若L可分成k条有向光滑曲线弧,(3)用L表示L的反向弧,则,则,机动目录上页下页返回结束,(1)线性性质,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧L上有定义且,L的参数方程为,则曲线积分,连续,存在,且有,机动目录上页下页返回结束,注：把对坐标的曲线积分转化为定积分时定积分的下限,一定是始点对应的参数，上限一定是终点对应的参数，而,不管上限是否大于下限这与对弧长的曲线积分不同,对应参数,设分点,根据定义,由于,对应参数,同理可证,机动目录上页下页返回结束,证明:下面先证,如果L的方程为,则,对空间光滑曲线弧:,类似有,定理目录上页下页返回结束,例1.计算,其中L为沿抛物线,解法一取x为参数,则,从点,的一段.,例1.计算,其中L为沿抛物线,解法二取y为参数,则,从点,的一段.,注：由该题可以知道对坐标的曲线积分没有对称性,例2.计算,其中L为,(1)半径为a圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向;,(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(a,0).,解:(1)取L的参数方程为,(2)取L的方程为,则,则,机动目录上页下页返回结束,例3.计算,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,解:(1)原式,(2)原式,(3)原式,机动目录上页下页返回结束,例4.,作用,解:,机动目录上页下页返回结束,设质点,处受力,的大小与M点对,原点的距离成正比，方向指向原点，求质点由,沿椭圆,逆时针移动到,求力做的功W,由题意知,则,其中,例.求,其中,从z轴正向看为顺时针方向.,解:取的参数方程,机动目录上页下页返回结束,例.设在力场,作用下,质点由,沿移动到,解:(1),(2)的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其中为,机动目录上页下页返回结束,三、两类曲线积分之间的联系,机动目录上页下页返回结束,设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为,则有向光滑弧L切向量的方向余弦为,由计算公式有,机动目录上页下页返回结束,其中,是有向弧L在,(1)若记,则,两类曲线积分的联系,切向量的方向余弦,注：,是有向弧L在,处单位切向量.,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,故向量函数,若记,则有,例：设定向曲线L参数方程为,方向余弦为,若,切向量为,切向量为,若,，则,(3)要注意是定向曲线的切向量必须与曲线的方向一致,，则,，则,其中,(2)将第二型转化为第一型曲线积分关键是求,定向曲线的切向量的方向余弦，,这可以通过求切向量得到,类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是,令,机动目录上页下页返回结束,二者夹角为,例.设,曲线段L的长度为s,证明,续,证:,设,说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.,在L上连,机动目录上页下页返回结束,.,例将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中L沿上半圆周,机动目录上页下页返回结束,法一：,又,所以切向量为,，所以,解：,机动目录上页下页返回结束,法二,曲线参数化为,由,得,切向量为,故,即,故,1.定义,2.性质,(1)L可分成k条有向光滑曲线弧,(2)L表示L的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,机动目录上页下页返回结束,3.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,机动目录上页下页返回结束,4.两类曲线积分的联系,对空间有向光滑弧:,机动目录上页下页返回结束,原点O的距离成正比,1.设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提示:,(解见P139例5),机动目录上页下页返回结束,已知,为折线ABCOA(如图),计算,提示:,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,备用题1.,解:,线移动到,向坐标原点