2016年甘肃省高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年甘肃省高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=R，集合 M=x|0 x 5， N=x|x 2，则（ M=（ ） A x|0 x 2 B x|0 x 2 C x|0 x 2 D x|0 x 2 2已知 =b+i（ a， b R），其中 i 为虚数单位，则 a+b=（ ） A 1 B 1 C 2 D 3 3等比 数列 各项均为正数，且 ，则 + ） A 10 B 9 C 8 D 7 4已知定义域为 R 的函数 f（ x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（ ） A x R， f（ x） f（ x） B x R， f（ x） f（ x） C R， f（ f（ D R， f（ f（ 5若变量 x， y 满足约束条件 ，且 z=x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n，则 m n=（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 6设非零向量 ， ， 满足 | |=| |=| |， + = ，则向量 与向量 的夹角为（ ） A 150 B 120 C 60 D 30 7如图，网格纸上小正方形的边长为 l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ） A l B 2 C 2 D 4 8如图表示的是求首项为 2016，公差为 3 的等差数列 n 项和的最大值的程序框图，则 和 处可填写（ ） 第 2 页（共 21 页） A a 0？， a=a 3 B a 0？， a=a+3 C a 0？， a=a 3 D a 0？， a=a+3 9已知 A（ 1， 0）、 B（ 2， 1）、 C（ 5， 8）， 外接圆在点 A 处的切 线为 l，则点 B 到直线 l 的距离为（ ） A B 1 C D 10已知抛物线 C： 6x，焦点为 F，直线 l： x= 1，点 A l，线段 抛物线 C 的交点为 B，若 =5 ，则 | |=（ ） A 6 B 35 C 4 D 40 11如图，矩形 的长为 1， 的长为 2，矩形 于第一象限，且顶点 A， D 分别在 x 轴 y 轴的正半轴上（含原点）滑动，则 的最大值是（ ） A B 5 C 6 D 7 12已知函数 f（ x）的导函数为 f（ x），若 x （ 0， +），都有 x） 2f（ x）成立，则（ ） A 2f（ ） 3f（ ） B 2f（ 1） 3f（ ） C 4f（ ） 3f（ 2） D 4f（ 1） f（ 2） 二 、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13若（ a ） 5 展开式中的常数项为 40，则 14已知三棱柱 侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 12， ， ， 0，则此三棱柱的体积为 _ 15若数列 足 ， =an+1 ）， 则 _ 16若函数 f（ x） =4 R 上存在单调递增区间，则实数 a 的取值范围为 _ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 3 页（共 21 页） 17在 ， a， b， c 分别为角 A、 B、 C 的对边，若 =（ 1）， =（ B+C），1），且 （ I）求角 A； （ ）当 a=6，且 面积 S 满足 = 时，求边 c 的值和 面积 18某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的 t 次射击成绩作为一个样本，根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 9 m 24 n q p 3 计 t 1 （ I）求表中 t， p 及图中 a 的值； （ ）在所取的样本中，从不少于 的成绩中任取 3 次， X 表示所取成绩不少于 随机变量 X 的分布列及数学期望 19如图，在三棱锥 P ， F、 G、 H 分别是 中点， 平面 A=C=2，二面角 B C 为 120 （ I）证明： （ ）求二面角 A B 的余弦值 20已知椭圆 C： =l（ a b 0）， 左右焦点，下顶点为 F 的直线l 交椭圆于 M、 N 两点，当直线 l 的倾斜角为 时， l （ I）求椭圆 C 的离心率； 第 4 页（共 21 页） （ ）若 P 为椭圆上一动点，直线 斜率记为 不为零，当直线 l 垂直于 x 轴时， 是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（ x） =1+x）一 （ a 0） （ I）当 f（ x）在 0， +）内单调递增时，求实数 a 的取值范围； （ ）证明： 【选修 4何证明选讲】 22如图所示， 圆 D 的直径， 圆 O 的切线，过 A 作 平行线交圆 O 于 D， 交于 E （ I）求证： 圆 O 的切线； （ ） 若 D=4，求 长 【选修 4标系与参数方程】 23已知在直角坐标系 ，曲线 C 的方程是（ x 2） 2+（ y l） 2=4，直线 l 经过点 P（ 3， ），倾斜角为 ，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （ ）写出曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的参数方程； （ ）设直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，求 |值 【选修 4等式选讲】 24设函数 f（ x） =|x a|（ a R） （ I）当 a=3 时，解不等式 f（ x） 4 |x+l|； （ ）若不等式 f（ x） l 的解集为 1， 3，且 （ m 0， n 0），求 m+2n 的最小值 第 5 页（共 21 页） 2016 年甘肃省高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=R，集合 M=x|0 x 5， N=x|x 2，则（ M=（ ） A x|0 x 2 B x|0 x 2 C x|0 x 2 D x|0 x 2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据补集的定义求出 N 在全集中的补集 求（ M 即可 【解答】 解： 全集 U=R，集合 M=x|0 x 5， N=x|x 2， x|x 2 则（ M=x|0 x 2 故选： A 2已知 =b+i（ a， b R），其中 i 为虚数 单位，则 a+b=（ ） A 1 B 1 C 2 D 3 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 先化简复数，再利用复数相等，解出 a、 b，可得结果 【解答】 解：由 得 a+2i=1，所以由复数相等的意义知 a= 1， b=2，所以 a+b=1 另解：由 得 =b+i（ a， b R），则 a=1， b=2， a+b=1 故选 B 3等比数列 各项均为正数，且 ，则 + ） A 10 B 9 C 8 D 7 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 利用等比数列的性质和对数运算法则求解 【解答】 解： 等比数列 各项均为正数，且 ， + =4 故选： C 4已知定义域为 R 的函数 f（ x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（ ） A x R， f（ x） f（ x） B x R， f（ x） f（ x） C R， f（ f（ D R， f（ f（ 【考点】 全称命题；特称命题 【分析】 根据定义域为 R 的函数 f（ x）不是偶函数，可得： x R， f（ x） =f（ x）为假命题；则其否定形式为真命题，可得答案 第 6 页（共 21 页） 【解答】 解： 定义域为 R 的函数 f（ x）不是偶函数， x R， f（ x） =f（ x）为假命题； R， f（ f（ 真命题， 故选： C 5若变量 x， y 满足约束条件 ，且 z=x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n，则 m n=（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出可行域，将目标函数变形为 y= x+z，根据可行域找到直线截距取得最大值和最小值时的最优解 【解答】 解：作出约束条件表示的可行域如图： 由 z=x+y 得 y= x+z， 由可行域可知当直线 y= x+z 经过点 A 时，直线截距最大，即 z 最大， 当直线 y= x+z 经过点 B 时，直线截距最小，即 z 最小 解方程组 得 x=4， y=5 z 的最大值 m=4+5=9 解方程组 得 x=1， y=2 z 的最小值 n=1+2=3 m n=6 故选： B 6设非零向量 ， ， 满足 | |=| |=| |， + = ，则向量 与向量 的夹角为（ ） A 150 B 120 C 60 D 30 【考点 】 平面向量数量积的运算 【分析】 作出图形，根据向量的几何意义和几何知识求出夹角 第 7 页（共 21 页） 【解答】 解：设 ， ，以 ， 为邻边作平行四边形 则 = | |=| |， 四边形 菱形 设 C=1，则 = 0 故选： D 7如图，网格纸上小正方形的边长为 l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几 何体的各个面中最大面的面积为（ ） A l B 2 C 2 D 4 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为 2 的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出最长的棱，判断出该四面体各面中最大的面，由三角形的面积公式求出即可 【解答】 解：根据三视图知几何体是： 三棱锥 P 棱长为 2 的正方体一部分，直 观图如图所示： 由正方体的性质可得， 最长棱为 B= ，其他棱长都小于 2 ， 该四面体各面中最大的面， 面积 S= =2 ， 故选： C 第 8 页（共 21 页） 8如图表示的是求首项为 2016，公差为 3 的等差数列 n 项和的最大值的程序框图，则 和 处可填写（ ） A a 0？， a=a 3 B a 0？， a=a+3 C a 0？， a=a 3 D a 0？， a=a+3 【考点】 程序框图 【分析】 由程序设计意图可知， 处应求通项，有 a=a 3，又由此数列首项为正数，公差为负数，求前 n 项和的最小值只需累加至最后一个正项即可，从而可求 处可填写： a 0 【解答】 解：由程序设计意图可知， S 表示此等差数列 n 项和，故 处应该填写 a=a 3， 又因为此数列首项为正数，公差为负数，求前 n 项和的最大值只需累加至最后一个正项即可，故 处可填写： a 0 故选： A 9已知 A（ 1， 0）、 B（ 2， 1）、 C（ 5， 8）， 外接圆在点 A 处的切线为 l，则点 B 到直线 l 的距离为（ ） A B 1 C D 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 先判断出 以 B 为直角的直 角三角形，进而求出 外接圆在点 A 处的切线 l 的方程，代入点到直线距离公式，可得答案 【解答】 解： A（ 1， 0）、 B（ 2， 1）、 C（ 5， 8）， =（ 3， 1）， =（ 3， 9）， =0， 故 ， 故 以 B 为直角的直角三角形， 第 9 页（共 21 页） 故 外接圆的直径， = ， 故 外接圆在点 A 处的切线 l 的斜率为 ， 故 外接圆在点 A 处的切线 l 的方程为 y= （ x+1）， 即 3x 4y+3=0， 故点 B 到直线 l 的距离 d= =1， 故选： B 10已知抛物线 C： 6x，焦点为 F，直线 l： x= 1，点 A l，线段 抛物线 C 的交点为 B，若 =5 ，则 | |=（ ） A 6 B 35 C 4 D 40 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设 A（ 1， a）， B（ m， n），且 6m，利用向量共线的坐标表示，由 =5 ，确定 A， B 的坐标，即可求得 | | 【解答】 解：由抛物线 C： 6x，可得 F（ 4， 0）， 设 A（ 1， a）， B（ m， n），且 6m， =5 ， 1 4=5（ m 4）， m=3， n= 4 ， a=5n， a= 20 ， | |= =35 故选： B 11如图，矩形 的长为 1， 的长为 2，矩形 于第一象限，且顶点 A， D 分别在 x 轴 y 轴的正半轴上（含原点）滑动，则 的最大值是（ ） A B 5 C 6 D 7 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 设 A（ a， 0）， D（ 0， b）， ，利用 得出 a， b 之间的关系，用 a， b， 表示出 B， C 的坐标，代入数量积公式运算得出关于 的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值 【解答】 解：设 A（ a， 0）， D（ 0， b）， ，则 B（ a+22 C（ 2b+2 ， a2+ 第 10 页（共 21 页） =2a+2+2b+2=4+2+ +） =4+2+） 的最大值是 4+2=6 故选： C 12已知函数 f（ x）的导函数为 f（ x），若 x （ 0， +），都有 x） 2f（ x）成立，则（ ） A 2f（ ） 3f（ ） B 2f（ 1） 3f（ ） C 4f（ ） 3f（ 2） D 4f（ 1） f（ 2） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 通过所给关系式，构造新的函数 g（ x） = ，对 g（ x）求导，得到关系 【解答】 解：令 g（ x） = ， 则 g（ x） = ， x） 2f（ x）， x （ 0， +）， g（ x） 0 恒成立 g（ x）是在（ 0， +）单调递减， g（ 1） g（ 2），即 4f（ 1） f（ 2） 故选 D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13若（ a ） 5 展开式中的常数项为 40，则 a = 2 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，写出常数项，由此列方程求出 a 的值 【解答】 解：（ a ） 5 展开式的通项为 = a ） 5 r（ ） r=（ 1） rrx ， 令 =0，可得 r=3， 又 r=3 时， 1） 3 10 由题意得 10 40， 解得 a= 2 故答案为： 2 第 11 页（共 21 页） 14已知三棱柱 侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 12， ， ， 0，则此三棱柱的体积为 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 根据余弦定理计算 发现 外接球球心在上下底面斜边中点的连线中点处，根据球的面积计算半径，得出棱柱的高 【解答】 解：在 ， = 在球的截面的直径 取 中点 D， 棱柱外接球的球心为 中点 O， 设外接球的半径为 r，则 42， r= 即 ， 棱柱的高 棱柱的体积 V=S = 故答案为 15若数列 足 ， =an+1 ），则 3 【考点】 数列递推式 【分析】 根据累加法和对数的运算性质即可求出数列的通项公式，代值计算即可 【解答】 解： =an+1 ） =）， an=） a1= a2= 第 12 页（共 21 页） 1= （ +（ +（ 1） = ） =） = 2= 3， 故答案为： 3 16若函数 f（ x） =4 R 上存在单调递增区间，则实数 a 的取值范围为 （ ， 22 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 根据题意可得 a 2x 4解，转化为 g（ x） =2x 4a g（ x） 用导数求出最值即可 【解答】 解： 函数 f（ x） =4 f（ x） =2x 4a， 函数 f（ x） =4 R 上存在单调递增区间， f（ x） =2x 4a 0， 即 a 2x 4解， 令 g（ x） =2x 4g（ x） =2 4 g（ x） =2 4， x= g（ x） =2 0， x g（ x） =2 0， x 当 x= ， g（ x） 22， a 22 即可 故答案为：（ ， 22 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在 ， a， b， c 分别为角 A、 B、 C 的对边，若 =（ 1）， =（ B+C），1），且 （ I）求角 A； （ ）当 a=6，且 面积 S 满足 = 时，求边 c 的值和 面积 【考点】 余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理 【分析】 （ I）由向量平行列出方程解出 （ 据余弦定理和面积公式解出 用正弦定理求出 c，代入面积公式解出面积 【解答】 解：（ I） B+C） =0，即 （ 1+ ，解得（舍）或 A= 第 13 页（共 21 页） （ = ， a2+ S=2 又 a2+ C= 由正弦定理得 ， c= =2 A+C） = S = =3 18某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的 t 次射击成绩作为一个样本，根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布 直方图如下： 分组 频数 频率 9 m 24 n q p 3 计 t 1 （ I）求表中 t， p 及图中 a 的值； （ ）在所取的样本中，从不少于 的成绩中任取 3 次， X 表示所取成绩不少于 随机变量 X 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概 率；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，能求出表中 t， p 及图中 a 的值 （ ）由题意 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 【解答】 解：（ ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，得： ，解得 t=60， n= =a= = .3+n+p+， p= 第 14 页（共 21 页） （ ）由直方图，得不少于 的成绩的次数为 60 ， 成绩不少于 的次数为 3，则 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P E（ X） = =1 19如图，在三棱锥 P ， F、 G、 H 分别是 中点， 平面 A=C=2，二面角 B C 为 120 （ I）证明： （ ）求二面角 A B 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ I）根据线面垂直的性质定理即可证明 （ ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面 角 A B 的余弦值 【解答】 解：（ I）设 中点是 M，连接 C， 平面 平面 C， H 是 中点， 15 页（共 21 页） （ ）建立以 A 为坐标原点的空间直角坐标系如图： 则 P（ 0， 0， 2）， H（ ， ， 0）， C（ 0， 2， 0）， B（ ， 1， 0）， F（ 0， 1， 1）， 则平面 法向量为 =（ 1， 0， 0）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，令 z=1，则 y=1， x= ， 即 =（ ， 1， 1）， ， = = ， 即二面角 A B 的余弦值是 20已知椭圆 C： =l（ a b 0）， 左右焦 点，下顶点为 F 的直线l 交椭圆于 M、 N 两点，当直线 l 的倾斜角为 时， l （ I）求椭圆 C 的离心率； （ ）若 P 为椭圆上一动点，直线 斜率记为 不为零，当直线 l 垂直于 x 轴时， 是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由已知得 c， 0）， 0， b），由题意知 ，从而 b= ，由此能求出椭圆 C 的离心率 （ ）设 P（ （ c）， M（ c， ）， N（ c， ），则 = ，由此能求出 存在最小值 第 16 页（共 21 页） 【解答】 解：（ ） 椭圆 C： =l（ a b 0）， 左右焦点，下顶点为 c， 0）， 0， b）， 过 F 的直线 l 交椭圆于 M、 N 两点，当直线 l 的倾斜角为 时， l， 由题知 l， ， ， b= ， e= = = = （ ）设 P（ （ c）， M（ c， ）， N（ c， ）， 则 = = ， 又 P C， =1，得 ， = = = = = ， | |=| |= ， 又 a a，且 c， 1 ，且 ， | |= = 存在最小值 21已知函数 f（ x） =1+x）一 （ a 0） （ I）当 f（ x）在 0， +）内单调递增时，求实数 a 的取值范围； 第 17 页（共 21 页） （ ）证明： 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ I）当 f（ x）在 0， +）内单调递增时， f（ x） = 0，结合 a 0，即可求实数 a 的取值范围； （ ）要证明 ，只要证明 e，两边取对数可得 20161，只要证明 0，构造函数 f（ x） =1+x） ，其中 f（ 0） =0，即可证明 【解答】 （ I）解：当 f（ x）在 0， +）内单调递增时， f（ x） = 0， 即 x+1 a 0 在 0， +）内恒成立， a x+1 在 0， +）内恒成立， 又 x+1 的最小值为 1， a 1， a 0， 0 a 1； （ ）证明：要证明 ，只要证明 e， 两边取对数可得 2016 1， 只要证明 0， 注意到 2016=2015+1，所以 =1+ ） =1+ ） 构造函数 f（ x） =1+x） ，其中 f（ 0） =0， 由（ I）知， x 0， f（ x） =1+x） 在 0， +）内是增函数， f（ ） = f（ 0） =0， ， 第 18 页（共 21 页） 【选修 4何证明选讲】 22如图所示， 圆 D 的直径， 圆 O 的切线，过 A 作 平行线交圆 O 于 D， 交于 E （ I）求证： 圆 O 的切线； （ ）若 D=4，求 长 【考点】 圆的切线的性质定理的证明 【分析】 （ I）连接 明 得 0，即可证明 圆 O 的切线； （ ） ， E可求 长 【解答】 （ I）证明：连接 圆 D 的直径， E 为 中点， D， 0， 圆 O 的切线； （ ）解：由题意， A=4， ， ， E =8 【选修 4标系与参数方程】 23已知在直角坐标系 ，曲 线 C 的方程是（ x 2） 2+（ y l） 2=4，直线 l 经过点 P（ 3， ），倾斜角为 ，以 O 为极点，