“杨辉三角”与二项式系数性质一

“杨辉三角”与二项式系数的性质(一),重点:二项式系数的函数性质,二项展开式,二项式系数,通项,基本知识点:,降幂,升幂,基本知识点:,(a+b)1,(a+b)3,(a+b)4,(a+b)5,(a+b)2,(a+b)6,(a+b)n,这个表叫做二项式系数表,也称为“杨辉三角”；,每行两端都是1Cn0=Cnn=1从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和,九章算术,杨辉,详解九章算法中记载的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法二项式系数表.在书中说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.,二项式系数的函数观点：,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数：,当n=6时，其图象是7个孤立点！,定义域是0,1,2,n,二、讲授新课：,二项式系数的性质1：对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式得到,图象的对称轴：,由于,所以相对于的增减情况由决定,二项式系数的性质2：增减性与最大值,，二项式系数逐渐增大；由对称性可知，,，二项式系数逐渐减小的,中间项最大.,展开式总项数的一半,二项式系数的性质2：增减性与最大值,1)先增后减.,2)n是偶数时，中间的一项（第项）的二项式系数取得最大值；,当n是奇数时，中间的两项（第项）的二项式系数和相等，且同时取得最大值.,二项式系数的性质3：各二项式系数的和,在二项式定理中，令，则,即的展开式的各二项式系数的和为2n.,同时由于，上式还可以写成：,-赋值法,（1）,一般地，展开式的二项式系数有如下基本性质：,（2）,（4）,（对称性）,例1.证明：在(ab)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证：,题型一:二项式系数和的应用,变式练习,2047,512,例2已知求:(1)(2)(3)(4)(5),1,题型二:求展开式的系数和或部分项的系数和,点评:求(ax+b)n,(ax2+bx+c)n展开式系数常用赋值法.令x=0,可得常数项.令x=1,可得所有项系数之和.令x=-1,可得(偶次项系数之和)-(奇次项系数之和)当二项式(ax-b)n中含有负值项时,只要将-号改成+,令变量x=1,就可得各项系数绝对值之和.,1,三、展开式中系数(二项式系数)最大的项：,因为题中最大系数只与二项式系数有关,所以最大系数是第6项.,三、展开式中系数(二项式系数)最大的项：,解:(1)设第r+1项系数最大,则有,三、展开式中系数(二项式系数)最大的项：,解:(2)展开式共有8项,其中最大项一定是正项,因为第1,3,5,7项是正的,又因为展开式中后项系数绝对值大于前项,所以最大值出现在中间或偏右.,点评:求系数最大问题，分三类1.只与二项式系数有关的,利二项式系数的特点求最大系数.2.不仅仅与二项式系数有关的:若(a+b)n,通常设第r+1项是系数最大，列不等式组,3.不仅仅与二项式系数有关的:若(a-b)n,分析在正项中找最大系数项.,由此确定r的取值,解,课堂练习,2.求证：,证明：,倒序相加法,（1）二项式系数的三个性质:,（2）数学思想：函数思想.,二项式系数之和:,最值:,（3）数学方法：赋值法、递推法.,当n是偶数时，中间的一项取得最大时；,