1.2分步乘法计数原理

,分类加法计数原理与分步乘法计数原理,实际问题,从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？,要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理分类计数原理与分步计数原理,导入新课,问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？,因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：325（种）,分类计数原理与分步计数原理,1、分类计数原理,（加法原理）,做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法。,有60种取法。,因此取法种数共有,40+60=100（种）,例1：两个袋子里分别装有40个白球，60个红球，从中任取一个球，有多少种求法？,解：取一个球的方法可以分成两类：,有40种取法；,40个,60个,问题2：如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?,解：从A村经B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有3种方法,第二步,由B村去C村有3种方法,所以从A村经B村去C村共有32=6种不同的方法。,2、分步计数原理,做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1m2mn种不同的方法。,（乘法原理）,例2：两个袋子里分别装有40个白球与60个红球，从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？,40个,60个,解：取一个白球和一个红球可以分成两步来完成：,一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?,分析:按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位,需分为三步完成;第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m3=10.根据乘法原理,共可以设置N=101010=103种三位数的密码。,练习,联系,区别一,完成一件事情共有n类办法，关键词是“分类”,完成一件事情,共分n个步骤，关键词是“分步”,区别二,每类办法都能独立完成这件事情。,每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情。,分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。,区别三,各类办法是互斥的、并列的、独立的,各步之间是相关联的,分类计数与分步计数原理的区别和联系：,点评:,乘法原理看成“串联电路”,加法原理看成“并联电路”;,1、从5名同学中选出正副班长各一名，则不同的任职方案有多少种？2、三层书架上，上层放着10本不同的语文书，中层放着9本不同的数学书，下层放着8本不同的英语书，（1）从书架上任取一本，有多少种取法？（2）从书架上任取语数外各一本，有多少种取法？3、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？4某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？,判断下列用分类还是分步原理，并说出式子,分步54,分类10+9+8,分步1098,分类(按十位分)8+7+6+5+4+3+2+1,分步3333,例3：某班级有男三好学生5人,女三好学生4人(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？,1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？,练习1,4+3+2=9（种）,432=24（种）,2、由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个四位数？（各位上的数字不重复）,6543=360（个）,3、一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？,有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理请看下面的例题：,注意,如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?,练习,解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类,m1=12=2条第二类,m2=12=2条第三类,m3=12=2条所以,根据加法原理,从顶点A到顶点C1最近路线共有N=2+2+2=6条。,1有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少种不同的取法？2集合A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4从A,B中各取1个元素作为点