2016年天津市河北区高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（ 共 20 页） 2016 年天津市河北区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=0， 1， 2， 3， 4，集合 A=1， 2， 3， B=2， 4，则（ B=（ ） A 2 B 2， 4 C 0， 4 D 4 2 i 是虚数单位，复数 =（ ） A 1+2i B 1 2i C 1+2i D 1 2i 3执行如图的程序框图，则输出 S 的值为（ ） A 2016 B 2 C D 1 4若 a=（ ） ， b= 2， c=，则 a， b， c 三者的大小关系是（ ） A b c a B c a b C a b c D a c b 5设 x， y R，则 “x 1 且 y 2”是 “x+y 3”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线平行于直线 l： x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 7已知函数 f（ x） =图象关于直线 x=a 对称，则最小正实数 a 的值为（ ） A B C D 第 2 页（ 共 20 页） 8已知函数 f（ x） = ，若关于 x 的方程 x） x） +c=0（ b， cR）有 8 个不同的实数根，则 b+c 的取值范围为（ ） A（ ， 3） B（ 0， 3 C 0， 3 D（ 0， 3） 二、填空题：本大 题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 _ 10如图，已知切线 圆于点 A，割线 别交圆于点 B， C，点 D 在线段 ，且 ， ，则线段 长为 _ 11已知正数 x， y 满足 x+y= x+y 的 最小值是 _ 12在区间 4， 4上随机地取一个实数 x，则事件 “2x 3 0”发生的概率是 _ 13函数 f（ x） =点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 _ 14已知三角形 ， C， ， 0， =3 ，若 P 是 上的动点，则 的取值范围是 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15在锐角 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，若 a= ， b=3， （ ）求角 A 的大小； （ ）求 2B+ ）的 值 16某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产 1 桶甲产品需耗 A 原料 3 千克， B 原料 1千克，生产 1 桶乙产品需耗 A 原料 1 千克， B 原料 3 千克每生产一桶甲产品的利润为 400元，每生产一桶乙产品的利润为 300 元，公司在生产这两种产品的计划中， 每天消耗 A、 B 原料都不超过 12 千克设公司计划每天生产 x 桶甲产品和 y 桶乙产品 （ ）用 x， y 列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中用阴影表示相应的平面区域； （ ）该公司每天需生产甲产品和乙产品各多少桶时才使所得利润最大，最大利润是多少？ 第 3 页（ 共 20 页） 17如图，在四棱锥 P ， D= （ ）若 M 是棱 一点，且 证： 平面 （ ） 若平面 平面 面 平面 证： 平面 （ ）在（ ）的条件下，求 平面 成角的正切值 18已知数列 等差数列， 前 n 项和，且 8， 2；数列 任意 n N*，总有 b1b2b31n+1 成立 （ ）求数列 通项公式； （ ）记 ，求数列 前 n 项和 19已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的短轴长为 2，离心率 e= （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若直线 l： y=kx+m 与椭圆交于不同的 两点 A， B，与圆 x2+相切于点 M （ i）证明： O 为坐标原点）； （ = ，求实数 的取值范围 20已知函数 f（ x） =中 a R 且 a 0 （ ）当 a=1 时，求函数 f（ x）的极值； 第 4 页（ 共 20 页） （ ）求函数 g（ x） = 单调区间； （ ）若存在 a （ ， 1，使函数 h（ x） =f（ x） +f（ x）， x 1， b（ b 1）在x= 1 处取得最小值，试求 b 的最大值 第 5 页（ 共 20 页） 2016 年天津市河北区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=0， 1， 2， 3， 4，集合 A=1， 2， 3， B=2， 4，则（ B=（ ） A 2 B 2， 4 C 0， 4 D 4 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据集合的基本运算进行求解即可 【解答】 解： U=0， 1， 2， 3， 4，集合 A=1， 2， 3， B=2， 4， 0， 4， 则（ B=4， 故选： D 2 i 是虚数单位，复数 =（ ） A 1+2i B 1 2i C 1+2i D 1 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则即可得出 【解答】 解：复数 = = = 1+2i 故选： C 3执行如图的程序框图，则输出 S 的值为（ ） A 2016 B 2 C D 1 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出前几次循环得到的 s， k 的值，观察规律可知， s 的取值以 3 为周期，由 k 等于 2015=3*671+2 时，满足条件 k 2016， s=2， k=2016 时不满足条件 k 2016，退出循环，输出 s 的值为 2 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 s=2， k=0 满足条件 k 2016， s= 1， k=1 第 6 页（ 共 20 页） 满足条件 k 2016， s= ， k=2 满足条件 k 2016， s=2 k=3 满足条件 k 2016， s= 1， k=4 满足条件 k 2016， s= ， k=5 观察规律可知， s 的取值以 3 为周期，由 2015=3*671+2，有 满足条件 k 2016， s=2， k=2016 不满足条件 k 2016，退出循环，输出 s 的值为 2 故选： B 4若 a=（ ） ， b= 2， c=，则 a， b， c 三者的大小关系是（ ） A b c a B c a b C a b c D a c b 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用指数函数，对数函数的单调性将 a 与 1 进行比较，利用指数函数的单调性将 b、c 与 1 进行比较即可 【解答】 解： a=（ ） ， b= 2= c= 0 a 1， 1 b 0， c 1， a b c 故选： C 5设 x， y R，则 “x 1 且 y 2”是 “x+y 3”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与 充要条件的判断 【分析】 根据不等式的可加性，可由前推后；但反之不成立，可举 x=0， y=4，当然满足 x+y 3，显然不满足 x 1 且 y 2，由充要条件的定义可得答案 【解答】 解：当 x 1 且 y 2 时，由不等式的可加性可得 x+y 1+2=3， 而当 x+y 3 时，不能推出 x 1 且 y 2， 比如去 x=0， y=4，当然满足 x+y 3，显然不满足 x 1 且 y 2， 由充要条件的定义可得 “x 1 且 y 2”是 “x+y 3”的充分而不必要条件， 故选 A 6已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线平行于直线 l： x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 第 7 页（ 共 20 页） C =1 D =1 【考点】 双曲线的标准方程 【分析】 由已知得 ，由此能求出双曲线方程 【解答】 解： 双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线平行于直线 l： x+2y+5=0， 双曲线的一个焦点在直线 l 上， ， 解得 a=2 ， b= ， 双曲线方程为 =1 故选： A 7已知函数 f（ x） =图象关于直线 x=a 对称，则最小正实数 a 的值为（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的正弦函数 【分析】 利用三角恒等变换可得 f（ x） =2x+ ），利用正弦函数的对称性即可求得答案 【解答】 解： f（ x） =（ =2x+ ）， 其对称轴方程由 x+ =， k Z 得： x=， k Z又函数 f（ x） =图象关于直线 x=a 对称， a=， k Z 当 k=0 时，最小正实数 a 的值为 故选： A 第 8 页（ 共 20 页） 8已知函数 f（ x） = ，若关于 x 的方程 x） x） +c=0（ b， cR）有 8 个不同的实数根，则 b+c 的取值范围为（ ） A（ ， 3） B（ 0， 3 C 0， 3 D（ 0， 3） 【考点】 分 段函数的应用 【分析】 题中原方程 x） x） +c=0 有 8 个不同实数解，即要求对应于 f（ x） =某个常数 K，有 2 个不同的 K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到 4 个 x 与之对应，就出现了 8 个不同实数解，故先根据题意作出 f（ x）的简图，由图可知，只有满足条件的 0， 1）时符合题意再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案 【解答】 解：根据题意作出 f（ x）的简图： 由图象可得当 f（ x） （ 0， 1时，有四个不同的 x 与 f（ x）对应再 结合题中 “方程 x） x） +c=0 有 8 个不同实数解 ”， 可以分解为形如关于 k 的方程 bk+c=0 有两个不同的实数根 为大于 0 且小于等于 1 的实数 列式如下： ，化简得 ， 此不等式组表示的区域如图： 令 z=b+c，则 z=b+c 在（ 2， 1）处 z=3，在（ 0， 0）处 z=0， 所以 b+c 的取值范围为（ 0， 3）， 故选： D 第 9 页（ 共 20 页） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 16+ 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体利用体积计算公式即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体 该几何体的体积 = 12 1+2 2 4=16+ 故答案为： 16+ 10如图，已知切线 圆于点 A，割线 别交圆于点 B， C，点 D 在线段 ，且 ， ，则线段 长为 2 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 利用切割线定理求出 得 用 得 ， ，证明 可求出 【解答】 解：因为 切线 圆于点 A，割线 别交圆于点 B， C， ， ， 所以 40=4 所以 0， 所以 ， 因为 所以 ， ， 因为 所以 所以 ， 所以 故答案为： 2 11已 知正数 x， y 满足 x+y= x+y 的最小值是 4 【考点】 基本不等式 第 10 页（ 共 20 页） 【分析】 依题意由基本不等式得 x+y=，从而可求得 x+y 的最小值 【解答】 解： x 0， y 0， ，又 x+y= x+y ， （ x+y） 2 4（ x+y）， x+y 4 故答案为： 4 12在区间 4， 4上随机地取一个实数 x，则事件 “2x 3 0”发生的概率是 【考点】 几何概型 【分析】 求出不等式的解，结合几何概型的概率公式进行求解即可 【解答】 解：由 2x 3 0 得 1 x 3， 则在区间 4， 4上随机地取一个实数 x，则事件 “2x 3 0”发生的概率P= = ， 故答案为： 13 函数 f（ x） =点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y= 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出 f（ x）的导数，运用导数的几何意义，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程 【解答】 解： f（ x） =导数为 f（ x） =（ x+1） 可得在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为 k=0， 切点为（ 1， ）， 即有在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y= 故答案为： y= 14已知三角形 ， C， ， 0， =3 ，若 P 是 上的动点，则 的取值范围是 2， 6 【考点】 平面向量数量积的运算 第 11 页（ 共 20 页） 【分析】 如图所示，由 C， ， 0，可得 C=2 由 =3 ，可得 设 P（ x， y），则 x+y=2 ， 则 = ，即可得出 【解答】 解：如图所示， C， ， 0， C=2 ， =3 ， ， = 设 P（ x， y），则 x+y=2 ， 则 = = = = 2， 6 故答案为： 2， 6 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15在锐角 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，若 a= ， b=3， （ ）求角 A 的大小； （ ）求 2B+ ）的值 【考点】 正弦定理 【分析】 （ I）利用正弦定理得出 关系，代入条件式解出 据 A 的范围得出 A 的值； （ 据 算 利用倍角公式计算 后使用两角和的正弦公式计算 【解答】 解：（ ）在锐角 ，由正弦定理得 ， ， 4 第 12 页（ 共 20 页） 又 0 ， A= （ ）由（ ）知 = 又 0 B ， = = ， = 2B+ ） = = 16某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产 1 桶甲产品需耗 A 原料 3 千克， B 原料 1千克，生产 1 桶乙产品需耗 A 原料 1 千克， B 原料 3 千克每生产一桶甲产品的利润为 400元，每生产一桶乙产品的利润为 300 元，公司在生产这两种产品的计划中， 每天消耗 A、 B 原料都不超过 12 千克设公司计划每天生产 x 桶甲产品和 y 桶乙产品 （ ）用 x， y 列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中用阴影表示相应的平面区域； （ ）该公司每天需生产甲产品和乙产品各多少桶时才使所得利润最大，最大利润是多 少？ 【考点】 简单线性规划的应用 【分析】 （ ）根据题设中的条件可设每天生产甲种产品 x 桶，乙种产品 y 桶，根据题设条件得出线性约束条件； （ ）利用线性规划的知识进行求解即可得到目标函数利润的最大值 【解答】 解：（ ）设每天生产甲产品 x 桶，乙产品 y 桶， 则 x， y 满足条件的数学关系式为 该二元一次不等式组表示的平面区域（可行域）如图 第 13 页（ 共 20 页） （ ）设利润总额为 z 元，则目标函数为： z=400x+300y 如图，作直线 l： 400x+300y=0，即 4x+3y=0 当直线 y= x+ 经过可行域上的点 A 时，截距 最大，即 z 最大 解方程组 得 ，即 A（ 3， 3）， 代入目标函数得 100 答：该公司每天需生产甲产品 3 桶，乙产品 3 桶才使所得利润最大，最大利润为 2100 元 17如图，在四棱锥 P ， D= （ ）若 M 是棱 一点，且 证： 平面 （ ） 若平面 平面 面 平面 证： 平面 （ ）在（ ）的条件下，求 平面 成角的正切值 【考点】 直线与平面所成 的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ I）连结 点 N，连结 用 得 =2，于是 而 平面 （ 用面面垂直的性质得出 而 平面 （ （ 2）可知 所求线面角，利用勾股定理得出 而计算出 【解答】 证明：（ ）连结 点 N，连结 14 页（ 共 20 页） =2 又 面 面 平面 （ ） 平面 平面 面 面 B， 面 平面 面 同理可证 又 面 面 D=A， 平面 （ ）解： 由（ ）知， 平面 平面 成的角 D=2， ， = ， 平面 成角的正切值为 18已知数列 等差数列， 前 n 项和，且 8， 2；数列 任意 n N*，总有 b1b2b31n+1 成立 （ ）求数列 通项公式； （ ）记 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和 第 15 页（ 共 20 页） 【分析】 （ ）设出 首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的通项公式求通项；再由 b1b2b31n+1，得 b1b2b31=3n 2（ n 2），两式相除可得数列 通项公式； （ ）把 通项公式代入 ，化简后利用错位相减法求得数列 前n 项和 【解答】 解：（ ）设 首项为 差为 d，由 8， 2， 得 d=28， ， 解得 ， d=3， +3（ n 1） =3n 2； 又 b1b2b31n+1， b1b2b31=3n 2（ n 2）， 两式 相除得 ， 当 n=1 时 适合上式， ； （ ）把 通项公式代入 ，得 ， 则 ， ， 两式作差得： ， ， 即 19已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的短轴长为 2，离心率 e= （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若直线 l： y=kx+m 与椭圆交于不同的两点 A， B，与圆 x2+相切于点 M （ i）证明： O 为坐标原点）； （ = ，求实数 的取值范围 第 16 页（ 共 20 页） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由已知得到 b=1，结合 e= ，即 a2=b2+得 ，则椭圆方程可求； （ ）（ i）由直线 l： y=kx+m 与圆 x2+相切，可得 ，即 联立直线方程好椭圆方程，得到 A， B 横坐标的和与积，代入可得 ，得到 （ 线 l： y=kx+m 与椭圆交于不同的两点 A， B，把 A， B 的坐标代入椭圆方程，可得， 在圆中由垂径定理可得= = 结合 ，得到 由 范围求得 的取值范围 【解答】 解：（ ） 2b=2， b=1 又 e= = ， a2=b2+ 椭圆 C 的方程为 ； （ ）（ i） 直线 l： y=kx+m 与圆 x2+相切， ，即 由 ，消去 y 并整理得，（ 1+22=0 设 A（ B（ 则 = = 第 17 页（ 共 20 页） = ， （ 直线 l： y=kx+m 与椭圆交于不同的两点 A， B， ， = = 由（ ）（ i）知 ， ，即 ， 的取值范围是 20已知函数 f（ x） =中 a R 且 a 0 （ ）当 a=1 时，求 函数 f（ x）的极值； （ ）求函数 g（ x） = 单调区间； （ ）若存在 a （ ， 1，使函数 h（ x） =f（ x） +f（ x）， x 1， b（ b 1）在x= 1 处取得最小值，试求 b 的最大值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （ ）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，解关于导函数的不等式，