高数函数的极值与最大最小值课件

1,第五节函数的极值与最大最小值,一、函数极值的定义二、函数极值的求法三、最大值最小值问题四、小结作业,2,一、函数极值的定义,3,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,定义设函数f(x0)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,如果对于去心邻域U(x0)内的任一x,有f(x)f(x0),那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值).,o,4,函数的极大值、极小值,是局部性的.,在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大,于某个极大值.,只是一点附近的,5,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,6,定理2(第一充分条件)设f(x)在x0处连续,且在x0的某去心邻域内可导.,(是极值点情形),7,(不是极值点情形),注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,例y=|x|,极小值点x=0,但x=0是y=|x|的不可导点.,驻点和不可导点统称为可疑极值点,8,求极值的步骤:,以及不可导点；,(4)求出各极值点的函数值,就得函数f(x)的全部极值.,9,例,解,列表讨论,极大值,极小值,10,例.求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,令,得,3)列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,11,例,解,12,定理3(第二充分条件),证,同理可证(2).,13,例,解,14,仍用第一充分条件,定理3(第二充分条件)不能应用.,事实上,可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值.,如,在x=0处分别属于上述三种情况.,15,例2.求函数,的极值.,解:1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,16,定理4(判别法的推广),若函数在,的邻域,内，,存在且有界,则:,1)当为偶数时,是极小点;,是极大点.,2)当为奇数时,为极值点,且,不是极值点.,当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.,证:,利用在点的泰勒公式,可得,17,例如,例2中,极值的判别法(定理2定理4)都是充分的.,说明:,当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.,例如:,为极大值,但不满足定理1,定理3的条件.,18,三、最大值最小值问题,19,求最大值最小值的步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,其中最大的就是f(x)在区间a,b上的最大值,最小的就是最小值.,20,特别注意:,当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大值,则也是最大值.,(小),对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大值点或最小值点.,(小),21,解,例,求函数,在闭区间0,3上的,最大值与最小值.,先求出驻点与不可导点,不可导点：,令,得驻点,比较不可导点，驻点以及区间端点的函数值：,最大值为：,最小值：,22,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,23,(k为某一常数),例4.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20,ACAB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货,D点应如何选取?,解:设,则,令,得,又,所以为唯一的,极小点,故AD=15km时运费最省.,总运费,物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小值点,问,Km,公路,24,例5.光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播.一束,光线由空气中A点经过水面到达B点,已知光在空气中和,水中的传播速度分别为,和,试确定光线传播的路径.,解:建立坐标系(如图),光从A点到B点所需的时间为,25,又,在0,l上连续,由介值定理,在(0,l)内存在,唯一的零点,从而也是0,l上的最小值点.,而由,得,于是,（折射定律）,26,例6.把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,问矩形截面,的高h和b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择.,27,用开始移动,例7.设有质量为5kg的物体置于水平面上,受力作,解:克服摩擦的水平分力,正压力,即,令,则问题转化为求,的最大值问题.,为多少时才可使力,设摩擦系数,的大小最小?,28,令,解得,而,因而F取最小值.,解:,即,令,则问题转化为求,的最大值问题.,29,清楚(视角最大)?,观察者的眼睛1.8m,例8.一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于,解:设观察者与墙的距离为xm,则,令,得驻点,根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.,问观察者在距墙多远处看图才最,30,四、小结,注意最值与极值的区别.,最值是整体概念而极值是局部概念.,实际问题求最值的步骤.,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为可疑极值点.,函数的极值必在可疑极值点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),31,思考与练习,1.设,则在点a处().,的导数存在,取得极大值;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:利用极限的保号性.,32,2.设,(A)不可导;,(B)可导,且,(C)取得极大值;,(D)取得极小值.,D