高二竞赛班第12讲 万有引力和开普勒定律.学生版

第12讲万有引力和开普勒定律 导读和天体运动相关的内容几乎每年考一道，本讲先复习基本的知识。计算万有引力的时候记得均匀球壳对内引力为0，相互作用能记得乘以1/2。利用开普勒三定律的时候想明白，确定一个轨道只需要两个参数，例如椭圆的长短轴或者体系的能量+角动量。利用三定律可以将二者互推。利用开普勒定律，将对时间的计算转换为对面积的计算，可以避免一些暴力的积分。例题精讲万有引力和引力势【例1】 有一个质量为，密度均匀，半径为的液态的静止的星体。计算星体中心的压强。【例2】 有一个质量为，密度均匀，半径为的静止的星体。a) 求出距离星体中心为处的引力势b) 计算庞大的星云聚集成为这颗星体的时候，最大能释放多少势能？（假设质量不变）【例3】 三颗质量为的星体，两辆间距为，绕着其质心以恒定的角速度旋转。a) 求出角速度b) 求出体系的总能量和总能量开普勒定律【例4】 对于太阳系中行星的运动，天文观测中发现了如下的事实（称为开普勒三定律）：（1）各个行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳的位置是椭圆的一个焦点。（第一定律）（2）对于每个行星来说，太阳至行星的连线（图中的FP线）在每单位时间内扫过的面积（称为面积速度）相等。（第二定律）（3）行星椭圆轨道的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值，对于各个行星来说是相同的。（第三定律）行星运动的轨道如图所示，P为行星，F为焦点（太阳），a、b、2c分别为半长轴、半短轴和焦距，O为椭圆的中心。根据万有引力定律，行星和太阳间的引力势能为，其中G为万有引力恒量，M为太阳质量，m为行星质量，r为太阳至行星的距离。试根据机械能守恒定律，开普勒第一、第二定律，分别导出行星运动的总机械能E、面积速度S、角动量和公转周期T的公式（用G、M、m、a、b表示），并证明开普勒第三定律。【例5】 用极坐标可以表示表示椭圆为。试用焦半径和离心率表达体系的能量和角动量。【例6】 质量为m的人造地球卫星，在圆轨道上运行。运行中受到大小恒为f的微弱阻力作用。以r表示卫星轨道的平均半径，M表示地球质量，求卫星在旋转一周的过程中：（1） 轨道半径的改变量？ （2）卫星动能的改变量？【例7】 要发射一艘探测太阳的宇宙飞船，使其具有与地球相等的绕日运动周期，以便发射1年后又将与地球相遇而发回探测资料。由地球发射这一般飞船时，应使其具有多大的绕日速度？已知地球绕日公转的速度为。如图所示。【例8】 第28届复赛第一题如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年，1986年它过近日点P0时与太阳S的距离r0=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角P=72.0。已知：1AU=1.501011m，引力常量G=6.671011Nm2/kg2，太阳质量mS=1.991030kg，试求P到太阳S的距离rP及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。解法一取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为 （1）a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示以表示地球绕太阳运动的周期，则；以表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则，根据开普勒第三定律，有SP （2） 设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得 （3） （4） 图1由图1可知，P点的坐标 （5） （6） 把（5）、（6）式代入（1）式化简得 （7）根据求根公式可得 （8）由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得 (9) 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 (10) 式中m为彗星的质量以表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有 （11）得 （12） 代入有关数据得 (13) 设P点速度方向与的夹角为(见图2)，根据开普勒第二定律 （14） SP 其中为面积速度，并有 （15）由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得 （16） 图2解法二取极坐标，极点位于太阳S所在的焦点处，由S引向近日点的射线为极轴，极角为，取逆时针为正向，用r、表示彗星的椭圆轨道方程为 （1）其中，e为椭圆偏心率，p是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a，根据解析几何可知 （2）将（2）式代入（1）式可得 （3）以表示地球绕太阳运动的周期，则；以表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则，根据开普勒第三定律，有 （4）在近日点，由（3）式可得 （5）将、的数据代入（3）式即得 （6）可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能 (7)式中m为彗星的质量以表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有 （8）可得 （9）代入有关数据得 (10) 设P点速度方向与极轴的夹角为，彗星在近日点的速度为，再根据角动量守恒定律，有 （11） 根据（8）式，同理可得 （12）由（6）、（10）、(11)、(12)式并代入其它有关数据 (13)评分标准：本题20分解法一（2）式3分，（8）式4分，（9）式2分，（11）式3分，(13) 式2分,（14）式3分,（15）式1分，（16）式2分解法二（3）式2分，（4）式3分，（5）式2分，（6）式2分，（8）式3分，(10) 式2分,（11）式3分,（12）式1分，（13）式2分利开三算时间【例9】 以第一宇宙速度并与地面垂直方向往上空发射一枚导弹，后在离发射处不远的地方返回地面，计算导弹在空中飞行的时间。地球半径R=6400公里。【例10】 如图所示，一物体A由离地面很远处向地球下落，落至地面上时，其速度恰等于第一宇宙速度。已知地球半径R=6400km，物体在地球引力场中的引力势能为（M为地球质量，m为物体的质量，r为物体到地心的距离）。若不计物体在运动中所受到的阻力，求此物体在空中运动的时间。【例11】 质量为和质量为的物体相聚为，由于万有引力作用相互吸引，求其相遇时间。几何【例12】 画出初一、十五、大潮、小潮时候太阳、月亮、地球的构型，说明日食、月食在农历发生的时间，并说明什么时候是上弦月，是什么时候是下弦月。证明月食一年至多只能发生两次。【例13】 2010年自主招生第三题设一天的时间为，地面上的重力加速度为，地球半径为 试求地球同步卫星的轨道半径 赤道城市的居民整天可看见城市上空挂着同步卫星。（2.1）设的运动方向突然偏北转过，试分析地判定而当地居民一天解有多少次机会可看到掠过城市上空。（2.2）取消（2.1）问中偏转，设从原来的运动方向突然偏西北转过，再分析地判定而