2016年山西省高考考前质检数学理科试卷（三）含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年山西省高考考前质检数学试卷（理科）（三） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1若复数 z=a+a， b R， i 为虚数单位）满足 1，则 b=（ ） A 1 B 1 C i D i 2用 0， 1， ， 199 给 200 个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取 10 件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为 5 的零件被取出，则第二段被取出的零件编号是（ ） A 25 B 10 C 15 D 20 3曲线 y=2x 在 点（ 1， 1）处的切线方程是（ ） A x y 2=0 B x y+2=0 C x+y+2=0 D x+y 2=0 4 P 为双曲线 =1 的渐近线位于第一象限上的一点，若点 P 到该双曲线左焦点的距离为 2 ，则点 P 到其右焦点的距离为（ ） A 2 B C D 1 5如图所示，将图（ 1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（ 2）中的几何体，则该几何体的侧视图是（ ） A B C D 6设 等比数列 前 n 项和，若 ， ，则 ） A 1+ B C 2 D 3 7实数 x， y 满足 ，若 z=x 2y 的最小值为 1，则实数 a 的值为（ ） A 2 B 1 C 0 D 1 8若 = ，且 （ ， ），则 ） A B C D 9执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为（ ） 第 2 页（共 23 页） A B 6 C D 5 10已知 ， 为同一平面内的两个向量，且 =（ 1， 2）， | |= | |，若 +2 与 2 垂直，则 与 的夹角为（ ） A 0 B C D 11在体积为 的三棱锥 S ， C=2， 20， C，且平面 面 该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ） A B C 20 D 8 12函数 f（ x） = +1 的最大值与最小值的乘积为（ ） A 2 B C D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13某公益活动为期三天，现要为 6 名志愿者安排相应的服务工作，每人工作一天，且第一天需 1 人工作，第二天需 2 人工作，第三天需 3 人工作，则不同的安排方式有 _种（请用数字作答） 14已知 A=0， 1， B=x|x A，则 ， ， ， 填空） 第 3 页（共 23 页） 15已知 别为椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点， Q 为椭圆 C 上的一点，且 O 为坐标原点）为正三角形，若射线 椭圆分别相交于点 P， R，则 面积的比值为 _ 16已知数列 首项为 4，公差为 3 的等差数列，数列 足 ）=1，则数 列 前 32 项的和为 _ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17如图，点 D 是 边 一点，且 （ ）求 B； （ ）若 外接圆的半径为 ，求 面积 18某公司为了解广告投入 对销售收益的影响，在若干地区各投入 4 万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的 （ 1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度； （ 2）估计该公司投入 4 万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值） （ 3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入 x（单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益 y（单位：万元） 2 3 2 7 表格中的数据显示， x 与 y 之间存在线性相关关系，请将（ 2）的结果填入空白栏，并计算 x 的回归方程 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 = ， = 第 4 页（共 23 页） 19如图， 圆 O 的直径，点 C 为圆 O 上的一点，且 D 为线段 一点，且 直于圆 O 所在的平面 （ ）求证： 平面 （ ）若 D，求二面角 C A 的余弦值 20 F 为抛物线 C： x 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 交于 A， B 两点， C 的准线与 x 轴的交点为 E，动点 P 满足 = + （ ）求点 P 的轨迹方程； （ ）当四边形 面积最小时，求直线 l 的方程 21已知函数 f（ x） = （ ）当 x 1 时，证明： f（ x） ； （ ）当 x 0 时， f（ 1 x） +2a（ x 1） +1 恒成立，求正实数 a 的值 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作 答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， O 的切线， O 的割线， B，连接 别与 ，点 G （ 1）求证： （ 2）求证： 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系中，圆 C 的方程为 （ 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单 位长度，直线 l 的极坐标方程为 m（ m R） （ I）当 m=3 时，判断直线 l 与 C 的位置关系； （ ）当 C 上有且只有一点到直线 l 的距离等于 时，求 C 上到直线 l 距离为 2 的点的坐标 选修 4等式选讲 24已知 |x 1| 1， |y 2| 1 第 5 页（共 23 页） （ 1）求 y 的取值范围； （ 2）若对任意实数 x， y， |x 2y+2a 1| 3 成立，求实数 a 的值 第 6 页（共 23 页） 2016 年山西省高考考 前质检数学试卷（理科）（三） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1若复数 z=a+a， b R， i 为虚数单位）满足 1，则 b=（ ） A 1 B 1 C i D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 求出 z2=由 1 得到关于 a， b 的方程组，求解方程组得答案 【解答】 解： z=a+ z2= 由 1，得 ， 解得 或 b= 1 故选： B 2用 0， 1， ， 199 给 200 个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取 10 件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为 5 的零件被取出，则第二段被取出的零件编号是（ ） A 25 B 10 C 15 D 20 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据已知计算出组距，可得答案 【解答】 解：因为是从 200 个零件中抽取 10 个样本， 组距是 20， 第一段中编号为 5 的零件被取出， 则第二段被取出的零件编号是 5+20=25 故选： A 3曲线 y=2x 在点（ 1， 1）处的切线方程是（ ） A x y 2=0 B x y+2=0 C x+y+2=0 D x+y 2=0 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先求导公式求出导数，再把 x=1 代入求出切线的斜率，代入点斜式方程再化为一般式 【解答】 解：由题意得， y=32， 在点（ 1， 1）处的切线斜率是 1， 在点（ 1， 1）处的切线方程是： y+1=x 1，即 x y 2=0， 故选 A 第 7 页（共 23 页） 4 P 为双曲线 =1 的渐近线位于第一象限上的一点，若点 P 到该双曲线左焦点的距离为 2 ，则点 P 到其右焦点的距离为（ ） A 2 B C D 1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由双曲线方程求出两焦点的坐标，设出 P（ m， ）（ m 0），由点 P 到该双曲线左焦点的距离为 2 求得 m 值，得到 P 的坐标，代入两点间的距离公式求得点 P 到其右焦点的距离 【解答】 解：如图， 由双曲线 =1，得 a=1， b= ， c= ， 2， 0）， 2， 0）， 一条渐近线方程为 y= ， 设 P（ m， ）（ m 0）， 由 | ，解得： m= 2（舍）或 m=1 P（ 1， ）， 则 | 故选： A 5如图所示，将图（ 1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（ 2） 中的几何体，则该几何体的侧视图是（ ） A B C D 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 根据三视图的定义判断棱 位置及是否被几何体遮挡住判断 第 8 页（共 23 页） 【解答】 解：从几何体的左面看，对角线 视线范围内 ，故画为实线，右侧面的棱 画为虚线，且上端点位于几何体上底面边的中点 故选 B 6设 等比数列 前 n 项和，若 ， ，则 ） A 1+ B C 2 D 3 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 由等比数列 前 n 项和的性质可得： 成等比数列，即可得出 【解答】 解：由等比数列 前 n 项和的性质可得： 成等比数列， = ， 化为 24=0， 解得 由已知可得：等比数列 单调递增数列， 因此 + 故选： A 7实数 x， y 满足 ，若 z=x 2y 的最小值为 1，则实数 a 的值为（ ） A 2 B 1 C 0 D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出 a 的值即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由 ，解得 A（ ， ）， 第 9 页（共 23 页） 由 z=x 2y 得： y= x ， 平移直线 y= x， 显然直线过 A 时， z 最小， z 的最小值是 z= a= 1， 解得： a=2， 故选： A 8若 = ，且 （ ， ），则 ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 由条件利用同角三角 函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号求得 得 值 【解答】 解： = = （ = ，且 （ ， ）， ， 平方可得 结合 2 （ ， ），可得 = ， 则 = ， 故选： B 9执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为（ ） 第 10 页（共 23 页） A B 6 C D 5 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出 S 的值，依次写出每次循环得到的 a， S， i 的值，当 i=11 时，满足条件 i10，退出循环，输出 S 的值为 5 【解答】 解：模拟执行程 序，可得 a=2， i=1， S=0 执行循环体， a= ， S= ， i=2 不满足条件 i 10，执行循环体， a= 1， S= ， i=3 不满足条件 i 10，执行循环体， a=2， S= ， i=4 不满足条件 i 10，执行循环体， a= ， S=2， i=5 不满足条件 i 10，执行循环体， a= 1， S=1， i=6 不满足条件 i 10，执行循环体， a=2， S=3， i=7 不满足条件 i 10，执行循环体， a= ， S= ， i=8 不满足条件 i 10，执行循环体， a= 1， S= ， i=9 不满足条件 i 10，执行循环体， a=2， S= ， i=10 第 11 页（共 23 页） 不满足条件 i 10，执行循环体， a= ， S=5， i=11 满足条件 i 10，退出循环，输出 S 的值为 5 故选： D 10已知 ， 为同一平面内的两个向量，且 =（ 1， 2）， | |= | |，若 +2 与 2 垂直，则 与 的夹角为（ ） A 0 B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 计算 | |， | |，根据向量垂直列方程得出 ，代入向量的夹角公式计算夹角余弦 【解答】 解： | |= ， | |= ， （ +2 ） （ 2 ）， （ +2 ） （ 2 ） =2 +3 2 =0，即 10+3 =0， = ， = = 1 ， = 故选： D 11在体积为 的三棱锥 S ， C=2， 20， C，且平面 面 该三棱锥的四个顶点 都在同一球面上，则该球的体积为（ ） A B C 20 D 8 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出 S 到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的体积 【解答】 解：三棱锥 S A、 B、 C 三点均在球心 O 的表面上，且 C=2， 20， 由余弦定理可得 ， 接圆半径 2r= =4，即 r=2 S 2 2 ， 三棱锥 S 体积为 ， S 到底面 距离 h=3， 设 O 到平面 距离为 d 如图所示，由平面 平面 得 ， 利用勾股定理可得 3 d） 2+（ 2 1） 2， 22+2， 第 12 页（共 23 页） d=1， R= 球的体积： 故选： A 12函数 f（ x） = +1 的最大值与最小值的乘积为（ ） A 2 B C D 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 求导 f（ x） = = ，从而利用导数的正负确定函数的单调性，从而确定函数的最值即可 【解答】 解： f（ x） = +1， f（ x） = = ， 故 f（ x）在（ ， 1）上是减函数， 在（ 1， 1）上是增函数，在（ 1， +）上是减函数； 而 f（ 1） = +1= ， f（ 1） = +1= ， 故 f（ 1） f（ 1） = ， 故选： C 第 13 页（共 23 页） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13某公益活动为期三天，现要为 6 名志愿者安排相应的服务工作，每人工作一天，且第一天需 1 人工作，第二天需 2 人工作，第三天需 3 人工作，则不同的安排方式有 60 种（请用数字作答） 【考点】 计数原理的应用 【分析】 由题意，直接根据分步计数原理可得 【解答】 解：每人工作一天，且第一天需 1 人工作，第二天需 2 人工作，第三天需 3 人工作0 种， 故答案为： 60 14已知 A=0， 1， B=x|x A，则 A B（用 ， ， ， 填空） 【考点】 集合的表示法 【分析】 先写出集合 A 的子集，然后表示出集合 B，通过比较集合 B 与 A 的元素关系，去判断 A 与 B 应具有何种关系 【解答】 解： B 中有 4 个元素： ， 0， 1， 0， 1， 所以 A 是 B 中元素， 所以 A B 故答案为： A B， 15已知 别为椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点， Q 为椭圆 C 上的一点，且 O 为坐标原点）为正三角形，若射线 椭圆分别相交于点 P， R，则 面积的比值为 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 设 c， 0）， c， 0），求得 Q（ c， c），可得 R（ c， c）， 直角三角形，运用椭圆的定义可得 a= c， b2=得椭圆的方程，将 方程 y= （ x+c），代入椭圆方程，解得 Q， P 的纵坐标，分别求得 面积，即可得到所求比值 【解答】 解：设 c， 0）， c， 0）， 正三角形， 可设 Q（ c， c），可得 R（ c， c）， 第 14 页（共 23 页） 由 |c，可得 直角三角形， 由双曲线的定义可得 c+ c=2a， 即有 a= c， b2= 则椭圆 C 的方程为 + =1， 由 方程 y= （ x+c），代入椭圆方程消 x 化简可得， 2， 解得 y= c 或 y= c， 则 面积为 面积为 2S |=c| c+ c|=（ 3 ） 即有 面积的比值为 故答案为： 16已知数列 首项为 4，公差为 3 的等差数列，数列 足 ）=1，则数列 前 32 项的和为 【考点】 数列的求和 【分析】 通过等差数列 首项和公差可知 n+1，利用平方差公式、裂项可知 ），进而并项相加即得结论 【解答】 解： 数列 首项为 4、公差为 3 的等差数列， +3（ n 1） =3n+1， ） =1， = = （ ）， 数列 前 n 项和为 （ + + ） 第 15 页（共 23 页） = （ ） = （ ）， 故所求值为 （ ） = ， 故答案为： 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17如图，点 D 是 边 一点，且 （ ）求 B； （ ）若 外接圆的半径为 ，求 面积 【考点】 正弦定理 【分析】 （ I）设 AD=x，则 x， =2x，由于 得 0即可得出 C又 得 D=x，即可得出 B= （ ，由正弦定理可得： =2 ，可得 ，可得S 【解答】 解：（ I）设 AD=x，则 x， =2x， =4 0 = ，可得 C=30， 0 又 D=x， B= =30 （ ，由正弦定理可得： =2 ， ， S = = 第 16 页（共 23 页） 18某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入 4 万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的 （ 1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度； （ 2）估计该公司投入 4 万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值） （ 3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入 x（单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益 y（单位：万元） 2 3 2 7 表格中的数据显示， x 与 y 之间存在线性相关关系，请将（ 2）的结果填入空白栏，并计算 x 的回归方程 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 = ， = 【考点】 独立性检验的应用；频率分布直方图 【分析】 （ 1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，建立方程，即可求得结论； （ 2）利用组中值，求出对应销售收益的平均值； （ 3）利用公式求出 b， a，即可计算 y 关于 x 的回归方程 【解答】 解：（ 1）设长方形的宽度为 m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1， 可知（ m=1， m=2； （ 2）由（ 1）可知个小组依次是 0， 2）， 2， 4）， 4， 6）， 6， 8）， 8， 10）， 10， 12）， 其中点分别为 1， 3， 5， 7， 9， 11，对应的频率分别为 故可估计平均值为 1 1 ； （ 3）空白处填 5 由题意， =3， = 9， =55， b= =a=3= y 关于 x 的回归方程为 y= 第 17 页（共 23 页） 19如图， 圆 O 的直径，点 C 为圆 O 上的一点，且 D 为线段 一点，且 直于圆 O 所在的平面 （ ）求证： 平面 （ ）若 D，求二面角 C A 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）连结 导出 此能证明 平面 （ ）以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 C A 的余弦值 【解答】 证明：（ ）连结 ，得点 D 为 中点， C 是圆 O 上的一点， 圆 O 的直径， 由 ，知 0， 正三角形， 又 圆 O 所在的平面， 圆 O 所在平面内， O， 平面 解：（ ）以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 设 ，则 D（ 0， 0， 0）， C（ ， 0， 0）， B（ 0， 3， 0）， P（ 0， 0， 3）， =（ ）， =（ 0， 3， 3）， 设向量 =（ x， y， z）为平面 法向量， 则 ，取 z=1，得 =（ ， 1， 1）为平面 一个法向量， 又 =（ ， 0， 0）为平面 一个法向量， = = 二面角 C A 的余弦值为 第 18 页（共 23 页） 20 F 为抛物线 C： x 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 交于 A， B 两点， C 的准线与 x 轴的交点为 E，动点 P 满足 = + （ ）求点 P 的轨迹方程； （ ）当四边形 面积最小时，求直线 l 的方程 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ I）求出 F， E 的坐标，设 l 方程为 x 1=0，联立方程组消元，根据根与系数的关系求出 点 坐标，由向量加法的几何意义可知 中点也是 中点，利用中点坐标公式得出 P 的轨迹关于 m 的参数方程，转化为普通方程即可； （ 用弦长公式和点到直线的距离公式计算 | E 到 l 的距离 d，得出 S 关于 m 的函数，求出 S 取得最小值时的 m，代入 x 1=0 得出 l 的方程 【解答】 解：（ I）抛物线 x 的焦点为 F（ 1， 0）， E（ 1， 0） 设直线 l 的方程为 x 1=0 联立方程组 ，消元得： 44=0 设 A（ B（ P（ x， y），则 y1+m， x1+x2=m（ y1+2=4 中点坐标为 M（ 2， 2m） = + =2 ， M 为 中点 ， ，即 x 12 点 P 的轨迹方程为 x 12 （ （ I）得 y1+m， 4 | = =4（ ） E 到直线 l： x 1=0 的距离 d= ， S |d=4 ， = + ， 四边形 平行四边形， 第 19 页（共 23 页） 平行四边形 面积 S=2S 当 m=0 时， S 取得最小值 8 此时直线 l 的方程为 x 1=0 21已知函数 f（ x） = （ ）当 x 1 时，证明： f（ x） ； （ ）当 x 0 时， f（ 1 x） +2a（ x 1） +1 恒成立，求正实数 a 的值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，证出结论即可； （ ）问题等价于 x+2a（ x 1） 1 0 在（ 0， +）恒成立，令 p（ x） =x+2a（ x 1） 1，（ x 0），根据函数的单调性求出 a 的值即可 【解答】 解：（ ）证 明：令 g（ x） =，（ x 1）， 则 g（ x） =x 1（ x 1）， 令 h（ x） =x 1（ x 1），则 h（ x） =1，（ x 1）， 令 h（ x） 0，解得： x 0，令 h（ x） 0，解得： x 0， h（ x）在（ 1， 0）递减，在（ 0， +）递增， h（ x） h（ 0） =0， g（ x）在（ 1， +）递增， g（ x） g（ 1） = 0， 即原命题成立； （ ）当 x 0 时， f（ 1 x） +2a（ x 1） +1 恒成立， 等价于 x+2a（ x 1） 1 0 在（ 0， +）恒成立， 令 p（ x） =x+2a（ x 1） 1，（ x 0）， 则 p（ x） = x a，（ x 0）， 令 q（ x） = x a，（ x 0）， 则 q（ x） = ，（ x 0）， 由（ ）得 q（ x） 0， q（ x）在 （ 0， +）递减， a=1 时， q（ 1） =p（ 1） =0 且 p（ 1） =0， 在（ 0， 1）上 p（ x） 0， p（ x）递增，在（ 1， +）上， p（ x） 0， p（ x）递减， 故 p（ x）的最大值是 p（ 1），即 p（ x） 0 恒成立； a 1 时， p（ 1） 0， x （ 0， 1）时，由 p（ x） = x a 1 a 0，解得： x 1， 第 20 页（共 23 页） 即 x （ ， 1）时， p（ x） 0， p（ x）递减， 又 p（ 1） =0，故 p（ x） 0 与 p（ x） 0 矛盾； 0 a 1 时，由 p（ x） = x a 1 a 0，解得： 1 x ， 即 x （ 1， ）时， p（ x） 0， p（ x）递增， 又 p（ 1） =0，故此时 p（ x） 0 与 p（ x） 0 恒成立矛盾， 综上： a=1 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， O 的切线， O 的割线， B，连接 别与 ，点 G （ 1）求证： （ 2）求证： 【考点】 相似三角形的判定；弦切角 【分析】 （ 1）根据已知和切割线定理可得 D = ，又 可证明 （ 2）由 F， G， E， D 四点共圆，可得 用三角形相似可得 过证明 可得解 【解答】 （本题满分为 10 分） 证明：（ 1）根据题意，可得： D B， D = ， 又 5 分 （ 2） F， G， E， D