工程电磁场(杨大鹏)cha

标量场和矢量场,标量场的梯度,矢量场的通量与散度,矢量场的环量与旋度,亥姆霍兹定理,电磁场的特殊形式,第0章矢量分析,下页,返回,VectorAnalysis,场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。,例如，在直角坐标下：,0.1标量场和矢量场,标量场,矢量场,如温度场、电位场、高度场等；,如流速场、电场、涡流场等。,ScalarFieldandVectorField,下页,上页,返回,其方程为:,图0.1.1等高线,(1)标量场-等值线(面),形象描绘场分布的工具场线,下页,上页,返回,三维场,二维场,图0.1.2矢量线,(2)矢量场-矢量线,其方程为：,在直角坐标下：,下页,上页,返回,0.2标量场的梯度GradientofScalarField,设一个标量函数(x，y，z)，若函数在点P可微，则在点P沿任意方向的方向导数为,设,式中,分别是任一方向与x,y,z轴的夹角,则有：,当最大,下页,上页,返回,梯度(gradient),哈密顿算子,式中,图0.1.3等温线分布,梯度的方向为该点最大方向导数的方向。,梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即最大方向导数。,标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。,梯度的意义,下页,上页,返回,例0.2.1三维高度场的梯度,图0.2.1三维高度场的梯度,高度场的梯度与过该点的等高线垂直；,数值等于该点位移的最大变化率；,指向地势升高的方向。,下页,上页,返回,例0.2.2电位场的梯度,图0.2.2电位场的梯度,电位场的梯度与过该点的等位线垂直；,数值等于该点的最大方向导数；,指向电位增加的方向。,下页,上页,返回,0.3矢量场的通量与散度,0.3.1通量(Flux),矢量E沿有向曲面S的面积分,若S为闭合曲面根据通量的大小判断闭合面中源的性质：,FluxandDivergenceofVector,图0.3.2矢量场通量的性质,下页,上页,返回,图0.3.1矢量场的通量,0.3.2散度(Divergence),如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小到点P时,通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场A在P点的散度：,散度(divergence),下页,上页,返回,（证明见教材326页）,散度的意义,在矢量场中，若A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处A=0，称之为无源场。,矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；,散度代表矢量场的通量源的分布特性。,下页,上页,返回,0.3.3散度定理(DivergenceTheorem),图0.3.4散度定理,高斯公式,矢量函数的面积分与体积分的相互转换。,下页,上页,返回,n1=-n2,n1,n2,0.4矢量场的环量与旋度,0.4.1环量(Circulation),矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分,环量,环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。,CirculationandRotationofVectorField,下页,上页,返回,图0.4.1环量的计算,水流沿平行于水管轴线方向流动，=0，无涡旋运动。,例：流速场,图0.4.2流速场,流体做涡旋运动，0，有产生涡旋的源。,下页,上页,返回,0.4.2旋度(Rotation),1.环量密度,过点P作一微小曲面S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当S点P时，存在极限,环量密度,环量密度是单位面积上的环量。,下页,上页,返回,该极限值与S的形状无关，但与S的方向n有关。,2.旋度,旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大值；其方向为最大环量密度的方向,旋度(curl),S的法线方向,它与环量密度的关系为,在直角坐标下:,下页,上页,返回,3.旋度的物理意义,矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。,某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。,在矢量场中，若A=J0称之为旋度场（或涡旋场），J称为旋度源（或涡旋源）。,若矢量场处处A=0，称之为无旋场。,下页,上页,返回,4.斯托克斯定理(StockesTheorem),矢量函数的线积分与面积分的相互转化。,斯托克斯定理,下页,上页,在电磁场理论中，高斯定理和斯托克斯定理是两个非常重要的公式。,返回,图0.4.3斯托克斯定理,0.5亥姆霍兹定理,亥姆霍兹定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。,已知：,HymherzeTheorem,下页,上页,返回,例0.5.1试判断下列各图中矢量场的性质。,下页,上页,返回,0.6特殊形式的电磁场,如果在经过某一轴线(设为z轴）的一族平行平面上，场F的分布都相同，即F=f（x，y），则称这个场为平行平面场。,1.平行平面场,SpecialFormsofElectromagneticField,如无限长直导线产生的电场。,下页,上页,返回,0,如果在经过某一轴线(设为z轴)的一族子午面上，场F的分布都相同，即F=f（r,），则称这个场为轴对称场。,2.轴对称场,如螺线管线圈产生的磁场；有限长直带电导线产生的电场。,下页,上页,返回,3.球面对称场,如果在一族同心球面上（设球心在原点），场F的