高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.3 数学归纳法课件 理 北师大版.ppt

13.3数学归纳法,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,数学归纳法,知识梳理,数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：(1)验证：当n取第一个值n0(如n01或2等)时，命题成立；(2)在假设当nk(kn，kn0)时命题成立的前提下，推出当nk1时，命题成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.()(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.(),考点自测,a.1b.1ac.1aa2d.1aa2a3,答案,解析,当n1时，n12，左边1a1a21aa2.,a.nk1时等式成立b.nk2时等式成立c.n2k2时等式成立d.n2(k2)时等式成立,答案,解析,因为n为正偶数，nk时等式成立，即n为第k个偶数时命题成立，所以需假设n为下一个偶数，即nk2时等式成立.,3.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于,凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3.,a.1b.2c.3d.0,答案,解析,答案,解析,等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.故nk1时，最后一项是(k1)2，而nk时，最后一项是k2，应加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.,3,4,5,n1,答案,题型分类深度剖析,题型一用数学归纳法证明等式,例1设f(n)1(nn).求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nn).,证明,当n2时，左边f(1)1，,左边右边，等式成立.假设nk(k2，kn)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k,(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，,当nk1时结论成立.由可知当nn时，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nn).,用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立.(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法.,思维升华,跟踪训练1用数学归纳法证明：,证明,左边右边，等式成立.,假设nk(k1，kn)时，等式成立.,则当nk1时，,左边右边，等式成立.即对所有nn，原式都成立.,例2(2016烟台模拟)等比数列an的前n项和为sn，已知对任意的nn，点(n，sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图像上.(1)求r的值；,题型二用数学归纳法证明不等式,解答,由题意，snbnr，当n2时，sn1bn1r.所以ansnsn1bn1(b1).由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列.又a1br，a2b(b1)，,证明,由(1)及b2知an2n1.因此bn2n(nn)，,假设nk(k1，kn)时结论成立，,则当nk1时，,要证当nk1时结论成立，,所以当nk1时，结论成立.,数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)关键：由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.,思维升华,跟踪训练2若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点p(4,5)、qn(xn，f(xn)的直线pqn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xnxn13.,证明,即n1时结论成立.,假设当nk时，结论成立，即2xkxk13.,当n1时，x12，f(x1)3，q1(2，3).所以直线pq1的方程为y4x11，,即xk1xk2，所以2xk1xk23，即当nk1时，结论成立.由知对任意的正整数n,2xnx6，猜想：数列x2n是递减数列.,下面用数学归纳法证明：,当n1时，已证命题成立.,假设当nk时命题成立，即x2kx2k2，,易知xk0，那么,即x2(k1)x2(k1)2.,所以当nk1时命题也成立.,结合知，对于任何nn命题成立.,命题点2与数列有关的证明问题例4在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nn，0).(1)求a2，a3，a4；,解答,a2222(2)222，a3(222)3(2)222323，a4(2323)4(2)233424.,(2)猜想an的通项公式，并加以证明.,解答,由(1)可猜想数列通项公式为an(n1)n2n.下面用数学归纳法证明：当n1,2,3,4时，等式显然成立，假设当nk(k4，kn)时等式成立，即ak(k1)k2k，那么当nk1时，ak1akk1(2)2k(k1)k2kk12k12k,(k1)k1k12k1(k1)1k12k1，,所以当nk1时，ak1(k1)1k12k1，猜想成立.由知数列的通项公式为an(n1)n2n(nn，0).,命题点3存在性问题的证明,解答,(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；,从而(an1)2是首项为0，公差为1的等差数列，,下面用数学归纳法证明上式：当n1时结论显然成立.,所以当nk1时结论成立.,(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nn成立？证明你的结论.,解答,则an1f(an).,下面用数学归纳法证明加强命题：,a2nca2n11.,假设nk时结论成立，即a2kca2k11.,再由f(x)在(，1上为减函数，,得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31，故cf(1)a2，即1ca2k2a2.,因此a2(k1)ca2(k1)11.,先证：0an1(nn).,当n1时，结论显然成立.,假设nk时结论成立，即0ak1.易知f(x)在(，1上为减函数，从而,这就是说，当nk1时结论成立.故成立.,再证：a2na2n1(nn).,有a2a2n2，,(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.,思维升华,跟踪训练3(2015江苏)已知集合x1,2,3，yn1,2,3，n(nn)，设sn(a，b)|a整除b或b整除a，ax，byn，令f(n)表示集合sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值；,解答,y61,2,3,4,5,6，s6中的元素(a，b)满足：若a1，则b1,2,3,4,5,6；若a2，则b1,2,4,6；若a3，则b1,3,6.所以f(6)13.,解答,(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.,当n6时，,下面用数学归纳法证明：,假设nk(k6)时结论成立，那么nk1时，sk1在sk的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分以下情形讨论：()若k16t，则k6(t1)5，此时有,()若k16t1，则k6t，此时有,()若k16t2，则k6t1，此时有,()若k16t3，则k6t2，此时有,()若k16t4，则k6t3，此时有,()若k16t5，则k6t4，此时有,综上所述，结论对满足n6的自然数n均成立.,典例(12分)数列an满足sn2nan(nn).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)证明(1)中的猜想.,归纳猜想证明问题,答题模板系列9,规范解答,(1)由s1a1算出a1；由ansnsn1算出a2，a3，a4，观察所得数值的特征猜出通项公式.(2)用数学归纳法证明.,答题模板,思维点拨,(1)解当n1时，a1s12a1，a11；,当n4时，a1a2a3a4s424a4，,(2)证明当n1时，a11，结论成立.5分,假设nk(k1且kn)时，结论成立，,那么nk1时，7分,2akak1，,2ak12ak.9分,ak1sk1sk2(k1)ak12kak,当nk1时，结论成立.11分,返回,归纳猜想证明问题的一般步骤：第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论；第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0n)成立；第三步：假设nk(kn0，kn)时结论成立，证明当nk1时结论也成立；第四步：下结论，由上可知结论对任意nn0，nn成立.,返回,课时作业,1.如果命题p(n)对nk(kn)成立，则它对nk2也成立.若p(n)对n2也成立，则下列结论正确的是a.p(n)对所有正整数n都成立b.p(n)对所有正偶数n都成立c.p(n)对所有正奇数n都成立d.p(n)对所有自然数n都成立,答案,解析,n2时，nk，nk2成立，n为2,4,6，故n为所有正偶数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是a.假设nk(kn)，证明nk1时命题成立b.假设nk(k是正奇数)，证明nk1时命题成立c.假设n2k1(kn)，证明nk1时命题成立d.假设nk(k是正奇数)，证明nk2时命题成立,答案,解析,相邻两个正奇数相差2，故d选项正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,a.若f(1)2成立，则f(10)11成立b.若f(3)4成立，则当k1时，均有f(k)k1成立c.若f(2)4时，f(n)_(用n表示).,5,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解答,下面利用数学归纳法证明.,假设当nk(k1，kn)时，结论成立，,1,2,3,4,5