2016年5月福州市高考数学模拟试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年福建省福州市高考数学模拟试卷（文科）（ 5 月份） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1集合 A=x N|x 4， B=x|4 0，则 AB=（ ） A x|0 x 2 B x| 2 x 2 C 0， 1 D 2， 0， 1， 2 2设复数 z 满足（ 1 i） z=1+i，则 |z|=（ ） A 0 B 1 C D 2 3已知条件 p： x 0，条件 q： 0，则 p 是 q 成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 4函数 f（ x） =x+）（ A 0）在 x= 处取得最小值，则（ ） A f（ x+ ）是奇函数 B f（ x+ ）是偶函数 C f（ x ）是奇函数 D f（ x ）是偶函数 5从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 10 根棉花的纤维长度（单位： 所得数据如图茎叶图记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为 ， ，标准差分别为 s 甲 ， 则（ ） A ， s 甲 s 乙 B ， s 甲 s 乙 C ， s 甲 s 乙 D ， s 甲 s 乙 6函数 f（ x） = 的零点个数为（ ） A 3 B 2 C 1 D 0 7在 ， C=90， ，点 M 满足 = ，则 =（ ） A 1 B C D 2 8在各项均为正数的等比数列 ， ，则数列 前 10 项和等于（ ） A 20 B 10 C 5 D 2+执行如图的程序框图，若输入 n 值为 4，则输出的结果为（ ） 第 2 页（共 22 页） A 8 B 21 C 34 D 55 10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 10 B 20 C 40 D 60 11过双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左焦点 F 作一条渐近线的垂线，与 C 右支交于点 A，若 |则 C 的离心率为（ ） A B 2 C D 5 12已知 a R，函数 f（ x） = 的导函数 f（ x）在（ ， 1）内有最小值，若函 数 g（ x） = ，则（ ） A g（ x）在（ 1， +）上有最大值 B g（ x）在（ 1， +）上有最小值 C g（ x）在（ 1， +）上为减函数 D g（ x）在（ 1， +）上为增函数 二、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡相应位置 13在平面直角坐标系 ，点 P（ 3）在抛物线 y2=准线上，则实数 m=_ 第 3 页（共 22 页） 14若 x， y 满足约束条件 ，则 2x y 的最大值等于 _ 15已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为 2，体积的比值为 ，则该球的表面积为 _ 16如图，在 ， B= ， ， D 为 上一点若 D，则 周长的取值范围为 _ 三、解答题：解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知数列 前 n 项和为 ， （ n 2） （ ）求证：数列 是等差数列； （ ）求 + 18某媒体为调查喜欢娱乐节目 A 是否与观众性别有关，随机抽取了 30 名男性和 30 名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图： （ ）根据该等高条形图，完成下列 2 2 列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过 前提下认为喜欢娱乐节目 A 与观众性别有关？ 喜欢节目 A 不喜欢节目 A 总计 男性观众 _ _ _ 女性观众 _ _ _ 总计 _ _ 60 （ ）从男性观众中按喜欢节目 A 与否，用分层抽样的方法抽取 5 名做进一步调查 从这 5名中任选 2 名，求恰有 1 名喜欢节目 A 和 1 名不喜欢节目 A 的概率 附： P（ k） k 2= 第 4 页（共 22 页） 19如图所示，四棱锥 P 底面是梯形，且 平面 E 是 点， D= （ ）求证： （ ）若 ， ，求三棱锥 A 高 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的焦距为 2 ，直线 y=k（ x 1）（ k 0）经过 与 E 交于 P， Q 两点 （ ）求 E 的方程； （ ）记线段 直径的圆为 M，判断点 A（ 2， 0）与 M 的位置关系，说明理由 21已知 a R，函数 f（ x） =a（ x+1）的图象与 x 轴相切 （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）若 x 0 时， f（ x） 实数 m 的取值范围 四 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 选修 4何证明选讲 22如图所示， 接于圆 O， D 是 的中点， 平分线分别交 圆 E， F （ ）求证： 接圆的切线； （ ）若 ， ，求 值 选修 4标系与参数方程 第 5 页（共 22 页） 23在直角坐标系 ，曲线 参数方程为 （ 为参数）以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系 （ ）写出 极坐标方程； （ ）设曲线 + 经伸缩变换 后得到曲线 线 = （ 0）分别与 于 A， B 两点，求 | 选修 4等式选讲 24已知不等式 |x+3| 2x+1 的解集为 x|x m （ ）求 m 的值； （ ）设关于 x 的方程 |x t|+|x+ |=m（ t 0）有实数根，求实数 t 的值 第 6 页（共 22 页） 2016 年福建省福州市高考数学模拟试卷（文科）（ 5 月份） 参考答案 与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1集合 A=x N|x 4， B=x|4 0，则 AB=（ ） A x|0 x 2 B x| 2 x 2 C 0， 1 D 2， 0， 1， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 先化简集合 A， B，再根据交集的运算即可 【解答】 解：集合 A=x N|x 4=0， 1， 2， 3， 4， 由集合 B 中的不等式 4 0， 因式分解得：（ x+2）（ x 2） 0， 解得： 2 x 2， 所以集合 B=（ 2， 2）； 则集合 AB=0， 1 故选： C 2设复数 z 满足（ 1 i） z=1+i，则 |z|=（ ） A 0 B 1 C D 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数求模 【分析】 由题意可得 z= ，再由 |z|= 求出结果 【解答】 解： 复数 z 满足（ 1 i） z=1+i， z= ， |z|= = =1， 故选 B 3已知条件 p： x 0，条件 q： 0，则 p 是 q 成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 分别化简命题 p， q， p，即可判断出关系 【解答】 解：条件 p： x 0，可得： p： x 0 条件 q： 0，可得 x 0 则 p 是 q 成立的充要条件 故选： C 第 7 页（共 22 页） 4函数 f（ x） =x+）（ A 0）在 x= 处取得最小值，则（ ） A f（ x+ ）是奇函数 B f（ x+ ）是偶函数 C f（ x ）是奇函数 D f（ x ）是偶函数 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由 f（ ） =x）可知直线 x= 是 f（ x）的一条对称轴故将 f（ x）图象向左平移 个单位后关于 y 轴对称 【解答】 解： f（ x）在 x= 处取得最小值， 直线 x= 是 f（ x）的一条对称轴 将 f（ x）的函数图象向左平移 个单位后关于 y 轴对称， f（ x+ ）是偶函数 故选 B 5从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 10 根棉花的纤维长度（单位： 所得数据如图茎叶图记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为 ， ，标准差分别为 s 甲 ， 则（ ） A ， s 甲 s 乙 B ， s 甲 s 乙 C ， s 甲 s 乙 D ， s 甲 s 乙 【考点】 极差、方差与标准差 【分析】 根据茎叶图，从茎叶图上可以看出甲的成绩比较集中，甲的成绩比较整齐，结合方差的意义即可得出 S 甲 ， S 乙 的大小关系 【解答】 解：由茎叶图可知，分别为 ，且甲的极差大于乙的极差， 甲的数据波动比乙大， 所以 s 甲 s 乙 ， 故选： A 第 8 页（共 22 页） 6函数 f（ x） = 的零点个数为（ ） A 3 B 2 C 1 D 0 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 按分段函数分类讨论，从而利用函数的零点的判定定理及函数与方程的关系求解 【解答】 解：当 x 0 时， f（ x） =2x 1+x， 易知 f（ x）在（ ， 0上是增函数且连续， 而 f（ 1） = 1 0， f（ 0） = 0； 故 f（ x）在 （ ， 0上有且只有一个零点； 当 x 0 时， f（ x） = 1+， 则 x=e； 综上所述， 函数 f（ x） = 有两个零点， 故选 B 7在 ， C=90， ，点 M 满足 = ，则 =（ ） A 1 B C D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据条件即可得出点 M 为边 中点，且 而有，再由 ，进行向量数量积的运算即可求出 的值 【解答】 解： ， M 为边 中点，如图所示： ； 0； ； = = =2+0 =2 故选： D 第 9 页（共 22 页） 8在各项均为正数的等比数列 ， ，则数列 前 10 项和等于（ ） A 20 B 10 C 5 D 2+考点】 等比数列的前 n 项和；等差数列的前 n 项和 【分析】 由等比数列 性质可得： =，再利用对数的运算性质即可得出 【解答】 解：由等比数列 性质可得： =， 则数列 前 10 项和 = = =10， 故选： B 9执行如图的程序框图，若输入 n 值为 4，则输出的结果为（ ） A 8 B 21 C 34 D 55 【考点】 程序框图 【分析】 执行程序框图，依次写出每次循环得到的 s， t， i 的值，当 n=4 时不满足条件 i 4，退出循环，输出 s+t 的值为 21，从而得解 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 n=4， s=1， t=1， i=1 满足条件 i 4，执行循环体，可得： s=2， t=3， i=2 满足条件 i 4，执行循环体，可得： s=4， t=7， i=3 满足条件 i 4，执行循环体，可得： s=7， t=14， i=4 不满足条件 i 4，退出循环，输出 s+t 的值为 21 故选： B 10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 10 页（共 22 页） A 10 B 20 C 40 D 60 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高的三棱锥后，所得的组合体，分别代入棱锥和棱柱体积公式，可得答案 【解答】 解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高的三棱锥的组合体， 故几何体的体积 V=（ 1 ） 3 4 5=20， 故选： B 11过双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左焦点 F 作一条渐近线的垂线，与 C 右支交于点 A，若 |则 C 的离心率为（ ） A B 2 C D 5 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 F（ c， 0），渐近线方程为 y= x，由题意可得 等腰三角形，即有 （ m， n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为 1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：设 F（ c， 0），渐近线方程为 y= x， 过左焦点 F 作一条渐近线的垂线，与 C 右支交于点 A，若 | 可得 等腰三角形， 即有 F 关于渐近线的对称点为 A（ m， n）， 第 11 页（共 22 页） 即有 = ， 且 n= ， 解得 m= ， n= ， 将 A（ ， ），即（ ， ）， 代入双曲线的方程可得 =1， 化简可得 4=1，即有 ， 解得 e= 故选： C 12已知 a R，函数 f（ x） = 的导函数 f（ x）在（ ， 1）内有最小值，若函数 g（ x） = ，则（ ） A g（ x）在（ 1， +）上有最大值 B g（ x）在（ 1， +）上有最小值 C g（ x）在（ 1， +）上为减函数 D g（ x）在（ 1， +）上为增函数 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 利用导函数的最小值求出 a 的范围，然后求解新函数的导数，判断函数的单调性与最值 【解答】 解：函数 f（ x） = 的导函数 f（ x） =2ax+a对称轴为： x=a， 导函数 f（ x）在（ ， 1）内有最小值， 令 2ax+a=0，可得方程在（ ， 1）有两个根，可得 ，解得： a 0 函数 g（ x） = =x+ 2a g（ x） =1 ， x （ 1， +）， ， 1 ， g（ x） 0， g（ x）在在（ 1， +）上为增函数 第 12 页（共 22 页） 故选： D 二、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡相应位置 13在平面直角坐标系 ，点 P（ 3）在抛物线 y2=准线上，则实数 m= 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出抛物线的准线方程，列出方程求解即可 【解答】 解：抛物线 y2=准线方程为： x= ， 点 P（ 3）在抛物线 y2=准线上， ， 解得 m= 故答案为： 14若 x， y 满足约束条件 ，则 2x y 的最大值等于 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=2x y 得 y=2x z， 平移直线 y=2x z 由图象可知 当直线 y=2x z 经过点 A（ 1， 1）时，直线 y=2x z 的截距最小，此时 代入目标函数 z=2x y， 得 z= 2+1= 1即 z=2x y 的最大值为 1 故答案为： 1 第 13 页（共 22 页） 15已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为 2，体积的比值为 ，则该球的表面积为 9 【考点】 球内接多面体；球的体积和表面积 【分析】 根据两个正四棱锥有公共底面，可得棱锥高之和即为 球的直径，结合底面边长为 2，则底面截球所得圆的半径为 2，结合勾股定理求出球半径可得球的面积 【解答】 解： 两个正四棱锥有公共底面且两个正四棱锥的体积之比为 ， 两个正四棱锥的高的比也为 设两个棱锥的高分别为 X， 2X，球的半径为 R 则 X+2X=3X=2R 即 R= 球心到那个公共底面距离是 ， 又 底面边长为 2 ） 2=（ ） 2+（ ） 2， 解得 X=1 R= 该球的表面积 S=4 故答案为： 9 16如图，在 ， B= ， ， D 为 上一点若 D，则 周长的取值范围为 2 l 2+ 【考点】 正弦定理的应用 【分析】 由正弦定理可得 B， B=60可知 A 60，结合图形可知周长 l=C+，结合正弦函数的性质可求 【解答】 解： B， B=60， A 60 B= ， ， A+C=120即 A=120 C 由正弦定理可得 2长 l=C+， 60 A 120 第 14 页（共 22 页） 1 2 l 2+ 故答案为： 2 l 2+ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知数列 前 n 项和为 ， （ n 2） （ ）求证：数列 是等差数列； （ ）求 + 【考点】 数列的求和 【分析】 （ I）利用递推关系、等差数列的定义即可证明； （ 用等差数列的通项公式、 “裂项求和 ”方法即可得出 【解答】 证明：（ ） （ n 2） 当 n 2 时， n 1， 可得： （ 1） n 1=0， 化为： 1n 1=0， =1， =2 数列 是以 2 为首项，以 1 为公差的等差数列 解：（ ）由（ ）可得： =2+（ n 1） =n+1， = + + + =1 = 18某媒体为调查喜欢娱乐节目 A 是否与观众性别有关，随机抽取了 30 名男性和 30 名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图： （ ）根据该等高条形图，完成下列 2 2 列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过 前提下认为喜欢娱乐节目 A 与观众性别有关？ 喜欢节目 A 不喜欢节目 A 总计 男性观众 24 6 30 女性观 众 15 15 30 第 15 页（共 22 页） 总计 39 21 60 （ ）从男性观众中按喜欢节目 A 与否，用分层抽样的方法抽取 5 名做进一步调查从这 5名中任选 2 名，求恰有 1 名喜欢节目 A 和 1 名不喜欢节目 A 的概率 附： P（ k） k 2= 【考点】 独立性检验；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式 【分 析】 （ ）由题意和条形图易得列联表，计算可得则 观测值 k 得有关； （ ）利用分层抽样在男性观众 30 名中抽取 5 名，其中喜欢娱乐节目 A 的人数为 4，记为a， b， c， d，不喜欢节目 A 的人数为 1，记为 1，列举可得总的方法种数，找出符合题意的方法种数，由概率公式可得 【解答】 解：（ ）由题意得列联表如下： 喜欢节目 A 不喜欢节目 A 总计 男性观众 24 6 30 女性观众 15 15 30 总计 39 21 60 计算可得则 观测值 k= = 能在犯错误的概率不超过 前提下认为喜欢娱乐节目 A 与观众性别有关； （ ）利用分层抽样在男性观众 30 名中抽取 5名，其中喜欢娱乐节目 A 的人数为 24 =4， 记为 a， b， c， d，不喜欢节目 A 的人数为 6 =1，记为 1 则从 5 名中任选 2 人的所有可能的结果为：（ a， b）（ a， c）（ a， d）（ a， 1） （ b， c）（ b， d）（ b， 1）（ c， d）（ c， 1）（ d， 1）共有 10 种 其中恰有 1 名喜欢节目 A 和 1 名不喜欢节目 A 的有：（ a， 1）（ b， 1）（ c， 1）（ d， 1）共 4种 所抽取的观众中恰有 1 名喜欢节目 A 和 1 名不喜欢节目 A 的观众的概率是： = 第 16 页（共 22 页） 19如图所示，四棱锥 P 底面是梯形，且 平面 E 是 点， D= （ ）求证： （ ）若 ， ，求三棱锥 A 高 【考点】 点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 （ ）取 中点 F，连结 明四边形 平行四边形，推出 用 平面 明 （ ）设点 O 为 中点，连结 图所示，证明 正三角形，推出 出 ，证明 平面 后求出三棱锥 A 高 【解答】 （ ）证明：取 中点 F，连结 图所示 因为点 E 是 点， 所以 又因为 ， 所以 D， 所以四边形 平行四边形， 所以 因为 平面 面 所以 所以 （ ）解：设点 O 为 中点，连结 图所示， 因为 ， ， 由（ ）知， ， 又因为 ，所以 D=2， 所以 =2 =2， 所以 正三角形， 所以 因为 平面 第 17 页（共 22 页） 所以 平面 因为 面 所以 又因为 D=D，所以 平面 所以三棱锥 A 高为 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的 焦距为 2 ，直线 y=k（ x 1）（ k 0）经过 与 E 交于 P， Q 两点 （ ）求 E 的方程； （ ）记线段 直径的圆为 M，判断点 A（ 2， 0）与 M 的位置关系，说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；点与圆的位置关系 【分析】 （ ）由题意可知， 2c=2 ， 2a=4， b2=可求得 a 和 b 的值，写出椭圆的方程； （ ）将直线方程代入椭圆方程，求得关于 x 的一元二次方程 ，利用根与系数的关系求得x1+ x1代入直线方程求得 y1示出 和 ，利用向量数量积的坐标表示求得 0，因此点 A 在 M 外 【解答】 解：（ ）依题意得， 2c=2 ， 2a=4，即 c= ， a= ， b2=， 所以 E 的方程为 （ ）点 A 在 M 外理由如下： 设 P（ Q（ 由 得（ 1+484=0， 所以， =（ 82 4（ 1+4 44） =486 0， 所以 x1+， x1 因为 =（ 2， =（ 2， 所以 =（ 2）（ 2） +y1 =（ 1+x1 2+ x1+4+ = +4+ = 因为 k 0， 所以 0 0， 锐角， 第 18 页（共 22 页） 所以点 A 在 M 外 21已知 a R，函数 f（ x） =a（ x+1）的图象与 x 轴相切 （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）若 x 0 时， f（ x） 实数 m 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出 f（ x）的导数，设出切点的坐标，得到方程组，求出 a 的值，从而求出函数的单调区间即可； （ ）构造 g（ x） =f（ x） 出 g（ x）的导数，通过讨论 m 的范围，结合函数的单调性求出 m 的具体范围即可 【解答】 解：（ ） f（ x） =a，依题意，设切点为（ b， 0）， 则 即 ， 解得 所以 f（ x） =1， 所以，当 x 0 时， f（ x） 0；当 x 0 时， f（ x） 0 所以， f（ x）的单调递减区间为（ ， 0），单调递增区间为（ 0， +） （ ）令 g（ x） =f（ x） 则 g（ x） =21， 令 h（ x） =g（ x），则 h（ x） =2m， （ ）若 m ， 因为当 x 0 时， 1，所以 h（ x） 0， 所以 h（ x）即 g（ x）在（ 0， +）上单调递增 又因为 g（ 0） =0，所以当 x 0 时， g（ x） g（ 0） =0， 从而 g（ x）在（ 0， +）上单调递增， 而 g（ 0） =0，所以 g（ x） g（ 0） =0，即 f（ x） 立 （ ）若 m ， 令 h（ x） =0，解得 x=2m） 0， 当 x （ 0， 2m）， h（ x） 0，所以 h（ x）即 g（ x）在（ 0， 2m）上单调递减， 又因为 g（ 0） =0，所以当 x （ 0， 2m）时， g（ x） 0， 从而 g（ x）在（ 0， 2m）上单调递减， 而 g（ 0） =0，所以当 x （ 0， 2m），时， g（ x） g（ 0） =0，即 f（ x） 成立 综上所述， m 的取值范围是（ ， 四 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 选修 4何证明选讲 22如图所示， 接于圆 O， D 是 的中点， 平分线分别交 圆 ， F （ ）求证： 接圆的切线； 第 19 页（共 22 页） （ ）若 ， ，求 值 【考点】 圆周角定理；平行截割定理 【分析】 （ ）设