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一、近似计算,二、微分方程的幂级数解法,三、欧拉公式,一、近似计算,用函数的幂级数展开式，可以在展开式有效的区间,内计算函数的近似值，而且可达到预先指定的精度要求.,例1计算,的近似值，要求误差不超过10-4.,例2计算,的近似值，要求误差不超过10-4.,例3利用,求,误差.,的近似值,并估计,例4计算积分,的近似值,精确到10-4,例5计算积分,的近似值，精确到10-4.,上述两题也可以在MathGS的工具箱中进行验证.,二、微分方程的幂级数解法,1.一阶微分方程的情形,求解一阶微分方程,其中f(x,y)是xx0及yy0的多项式.,代入原方程,比较同次幂系数可定常数,由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解.,设所求解为,例6求方程y=x+y2满足y|x=0=0的特解.,2.二阶变系数齐次方程,定理,则在-RxR内上述方程必有幂级数解:,设P(x),Q(x)在(-R,R)内可展成x的幂级,此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用,很多,重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的.,数,例7求方程,的一个特解.,三、欧拉(Euler)公式,则称(1)收敛,且其和为,绝对收敛,收敛.,若,收敛,若,对复数项级数,(1),绝对收敛,则称(1)绝对收敛.,由于,故知,定义复变量z=x+iy的指数函数为,易证它在整个复平面上绝对收敛.,当y=0时,它与实指数函数,的幂级数展式一致.,当x=0时,（也称欧拉公式）,利用欧拉公式可得复数的指数形式,则,欧拉公式,据此可得德莫弗公式,利用幂级数的乘法,不难验证,特别有,在欧拉公式,中，令x=，得,上述等式把数学中的五个数：0、1、e、i集于,一身，被称为“上帝创造的公式”.,下面的图片是广州恒大俱乐部为2013年11月9日将进,行的广州恒大VS首尔FC亚冠
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