2019年高考真题文科数学（全国卷Ⅰ）含解析

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷） 文文科科数数学学 1. 设 3 12 i z i ，则z （） A.2 B. 3 C. 2 D.1 答案： C 解析： 因为 3(3)(1 2 )1 7 12(12 )(1 2 )5 iiii z iii 所以z 22 17 ( )() 55 2 2. 已知集合7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1U，5432，A，7632，B，则ACB U （） A.6 , 1 B.7 , 1 C.7 , 6 D.7 , 6 , 1 答案： C 解析： 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1U，5432，A， 则761 ，ACU， 又7632，B， 则 76，ACB U ，故选 C. 3.已知 2 log 0.2a ， 0.2 2b ， 0.3 0.2c ，则（） A.abc B.acb C.cab D.bca 答案： B 解答： 由对数函数的图像可知： 2 log 0.20a ；再有指数函数的图像可知： 0.2 21b ， 0.3 00.21c ，于是可得到：acb. 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 2 15 （618. 0 2 15 称为黄金分割比例） ，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头 顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2 15 .若某人满足上述两个黄金分割比例， 且腿长为cm105，头顶至脖子下端的长度为cm26，则其身高可能是（） A.cm165 B.cm175 C.cm185 D.cm190 答案： B 解析： 方法一： 设头顶处为点A，咽喉处为点B，脖子下端处为点C，肚脐处为点D，腿根处为点E，足底 处为F，tBD ， 2 15 ， 根 据 题 意 可 知 BD AB , 故tAB； 又tBDABAD) 1( ， DF AD ， 故 tDF 1 ； 所以身高tDFADh 2 ) 1( ，将618. 0 2 15 代入可得th24. 4. 根据腿长为cm105，头顶至脖子下端的长度为cm26可得ACAB ，EFDF ； 即26t，105 1 t ，将618. 0 2 15 代入可得4240 t 所以08.1786 .169 h，故选 B. 方法二： 由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近， 故头顶至脖子下端的长度cm26可 估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 2 15 （ 618. 0 2 15 称为黄金分割比例） 可计算出咽喉至肚脐的长度约为cm42；将人体的头顶 至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为cm68， 头顶至肚脐的长度与 肚脐至足底的长度之比是 2 15 可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度 与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为cm178，与答案cm175更为接近，故选 B. 5. 函数 2 sin ( ) cos xx f x xx 在, 的图像大致为（） A. B. C. D. 答案： D 解答： 2 sin () cos xx fx xx 2 sin cos xx xx ( )f x ， ( )f x为奇函数，排除 A. 又2 2 sin 42 22 ()0 2 cos 22 f ，排除 C， 22 sin ( )0 1 cos f ，排除 B，故选 D. 6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,3,1000，从这些新生中 用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中 被抽到的是（）. A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生 答案： C 解答： 从1000名学生中抽取100名，每10人抽一个，46号学生被抽到，则抽取的号数就为 106(099,)nnnN，可得出616号学生被抽到. 7.tan255 （） A.2 3 B.2 3 C.2 3 D.2 3 答案： D 解析： 因为tan255tan(18075 )tan75 tan45tan30 tan(4530 ) 1tan45tan30 化简可得tan255 23 8. 已知非零向量a ，b 满足|2|ba ，且bba )(，则a 与b 的夹角为（） A. 6 B. 3 C. 3 2 D. 6 5 答案： B 解答： |2|ba ，且bba )(，0)(bba ，有0| 2 bba ，设a 与b 的夹角为， 则有0|cos| 2 bba ，即0|cos|2 22 bb ，0) 1cos2(| 2 b ，0|b ， 2 1 cos， 3 ，故a 与b 的夹角为 3 ，选B. 9. 右图是求 1 1 2+ 1 2+ 2 的程序框图，图中空白框中应填入（） A. 1 2 A A B. 1 2A A C. 1 1 2 A A D. 1 12 A A 答案： A 解答： 把选项代入模拟运行很容易得出结论 选项 A 代入运算可得 1 = 1 2+ 1 2+ 2 A ，满足条件， 选项 B 代入运算可得 1 =2+ 1 2+ 2 A ,不符合条件， 选项 C 代入运算可得 1 2 A ,不符合条件， 选项 D 代入运算可得 1 1+ 4 A ,不符合条件. 10.双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x C：的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为 （） A.40sin2 B.40cos2 C. 50sin 1 D. 50cos 1 答案：D 解答：根据题意可知130tan a b ，所以 50cos 50sin 50tan a b ， 离心率 50cos 1 50cos 1 50cos 50sin50cos 50cos 50sin 11 22 22 2 2 2 2 a b e . 11.ABC的 内 角, ,A B C的 对 边 分 别 为, ,a b c， 已 知sinsin4 sinaAbBcC， 1 cos 4 A ，则 b c （） A.6 B.5 C.4 D.3 答案：A 解答：由正弦定理可得到： 222 sinsin4 sin4aAbBcCabc ，即 222 4acb ， 又由余弦定理可得到： 222 1 cos 24 bca A bc ，于是可得到6 b c 12. 已知椭圆C的焦点坐标为 1( 1,0) F ， 2(1,0) F，过 2 F的直线与C交于A，B两点，若 22 2AFF B， 1 ABBF，则C的方程为（） A. 2 2 1 2 x y B. 22 1 32 xy C. 22 1 43 xy D. 22 1 54 xy 答案： B 解答： 由 22 2AFF B， 1 ABBF，设 2 F Bx，则 2 2AFx， 1 3BFx，根据椭圆的定义 2121 2F BBFAFAFa，所以 1 2AFx，因此点A即为椭圆的下顶点，因为 22 2AFF B，1c 所以点B坐标为 3 ( , ) 2 2 b ，将坐标代入椭圆方程得 2 91 1 44a ，解得 22 3,2ab，故答案选 B. 13.曲线 2 3() x yxx e在点(0,0)处的切线方程为. 答案： 3yx 解答： 2 3(21)3() xx yxexx e 2 3(31) x xxe， 结合导数的几何意义曲线在点(0,0)处的切线方程的斜率3k ， 切线方程为3yx. 14. 记 n S为等比数列 n a的前n项和，若 1 1a ， 3 3 4 S ，则 4 S . 答案： 5 8 解析： 1 1a ， 3123 3 4 Saaa 设等比数列公比为q， 2 111 3 4 aa qa q， 1 2 q . 所以 4 S 5 8 15函数 3 ( )sin(2)3cos 2 f xxx 的最小值为_ 答案：4 解答： 2 3 ( )sin(2)3coscos23cos2cos3cos1 2 f xxxxxxx ， 因为cos 1,1x ，知当cos1x 时( )f x取最小值， 则 3 ( )sin(2)3cos 2 f xxx 的最小值为4 16.已知90ACB，P为平面ABC外一点，2PC ，点P到ACB两边,AC BC的距 离均为 3，那么P到平面ABC的距离为 . 答案： 2 解答： 如图，过P点做平面ABC的垂线段，垂足为O，则PO的长度即为所求，再做 ,PECB PFCA，由线面的垂直判定及性质定理可得出,OECB OFCA，在 Rt PCF中，由2,3PCPF，可得出1CF ，同理在Rt PCE中可得出1CE ，结 合90ACB，,OECB OFCA可 得 出1OEOF， 2OC ， 22 2POPCOC 17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服 务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满 意不 满 意 男 顾 客4010 女 顾 客3020 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc ab cd ac bd 2 ()Pk0.0500.0100.001 k 3.8416.63510.828 答案： (1)男顾客的的满意概率为 404 505 P 女顾客的的满意概率为 303 505 P (2)有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 解答： （1）男顾客的的满意概率为 404 505 P 女顾客的的满意概率为 303 505 P . (2) 2 2 100(40 20 10 30) 4.762 (40 10)(3020)(4030)(1020) 4.7623.841有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18.记 n S为等差数列 n a的前n项和，已知 59 aS； （1）若4 3 a，求 n a的通项公式； （2）若0 1 a，求使得 nn aS 的n的取值范围. 答案： （1）102 nan （2）Nnnn,101 解答： （1）由 59 aS结合 5 91 9 9 2 )(9 a aa S 可得0 5 a，联立4 3 a得2d，所以 102)3( 3 ndnaan （2）由 59 aS可得da4 1 ，故dnan)5( ， 2 )9(dnn Sn . 由0 1 a知0d，故 nn aS 等价于 01011 2 nn ，解得101 n， 所以n的取值范围是Nnnn,101 19. 如图直四棱柱 1111 ABCDABC D的底面是菱形， 1 4,2AAAB， 60BAD ， ,E M N分别是 11 ,BC BB AD的中点. （1）证明：/ /MN平面 1 C DE （2）求点C到平面 1 C DE的距离. 答案： 见解析 解答： （1）连结 1111 ,AC B D相交于点G，再过点M作 1 / /MHC E交 11 BC于点H，再连结GH， NG. ,E M N分别是 11 ,BC BB AD的中点. 于是可得到 1 / /NGC D，/ /GHDE， 于是得到平面/ /NGHM平面 1 C DE， 由MN 平面NGHM，于是得到/ /MN平面 1 C DE （2）E为BC中点，ABCD为菱形且60BAD DEBC，又 1111 ABCDABC D为直四棱柱， 1 DECC 1 DEC E，又 1 2,4ABAA， 1 3,17DEC E，设点C到平面 1 C DE的距离为h 由 11 C C DECDCE VV 得 1111 317134 3232 h 解得 4 17 17 h 所以点C到平面 1 C DE的距离为 4 17 17 20. 已知函数( )2sincosf xxxxx，( )fx 是( )f x的导数. （1）证明：( )fx 在区间(0, )存在唯一零点； （2）若0, x时，( )f xax，求a的取值范围. 答案： 略 解答： （1）由题意得( )2coscos( sin ) 1fxxxxx cossin1xxx 令( )cossin1g xxxx，( )cosg xxx 当(0, 2 x 时，( )0g x ，( )g x单调递增， 当(, ) 2 x 时，( )0g x ，( )g x单调递减， ( )g x的最大值为()1 22 g ，又( )2g ，(0)0g ( )()0 2 gg ，即( )()0 2 ff ， ( )fx 在区间(0, )存在唯一零点. （2）令( )( )F xf xax2sincosxxxxax， ( )F x cossin1xxx a ， 由（1）知( )fx 在(0, )上先增后减，存在(, ) 2 m ，使得( )0fm ，且(0)0 f ， ()=10 22 f ，( )2f ， ( )F x 在(0, )上先增后减，(0)Fa ，()1 22 Fa ，( )2Fa ， 当()0 2 F 时，( )F x在(0, )上小于0，( )F x单调递减， 又(0)0F，则( )(0)0F xF不合题意， 当()0 2 F 时，即10 2 a ，1 2 a 时， 若(0)0 F ，( )0F，( )F x在(0,)m上单调递增，在( , )m上单调递减， 则 (0)0 ( )0 F F 解得0a ， 而 (0)0 ( )20 Fa Fa 解得20a ，故20a ， 若(0)0 F ，( )0F，( )F x在(0, )上单调递增，且(0)0F， 故只需 (0)0 ( )20 Fa Fa 解得2a ； 若(0)0 F ，( )0F，( )F x在(0,) 2 上单调递增，且(0)0F， 故存在(0,) 2 x 时，( )(0)0F xF，不合题意， 综上所述，a的取值范围为,0. 21. 已知点,A B关于坐标原点O对称，4AB ，Me过点,A B且与直线20 x 相切. （1）若A在直线0 xy上，求Me的半径； （2）是否存在定点P，使得当A运动时，MAMP为定值？并说明理由. 答案： （1）2或6； （2）见解析. 解答： （1）Me过点,A B，圆心在AB的中垂线上即直线y x 上，设圆的方程为 222 ()()xayar，又4AB ，根据 222 AOMOr 得 22 42ar ； Me与直线20 x 相切，2ar，联解方程得0,2ar或4,6ar. （2）设M的坐标为( , )x y，根据条件 2 222 2AOMOrx即 2 22 42xyx 化简得 2 4yx，即M的轨迹是以(1,0)为焦点，以1x 为准线的抛物线，所以存在定点 (1,0)P，使(2)(1)1MAMPxx. 22.在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 2 2 2 1 1 () 4 1 t x t t t y t 为参数.以坐标原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2