组合变形 课件2

Mechanicsofmaterials,变形轴向拉压剪切扭转平面弯曲A,外力轴向力横向力外力偶横向力或外力偶,内力轴力()剪力(Q)扭矩(z)剪力(Q)弯矩(M),应力正应力剪应力剪应力剪应力正应力,计算公式,分布规律,Mechanicsofmaterials,组合变形(combineddeformation)实际构件由外力所引起的变形包含两种或两种以上的基本变形。,Mechanicsofmaterials,Mechanicsofmaterials,Mechanicsofmaterials,屋架,檩条,Mechanicsofmaterials,叠加原理(deformation-superpositionmethod)：弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独作用所产生的应力、变形等可叠加计算。,Mechanicsofmaterials,前提条件：线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律；必须是小变形，保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠加计算，且能保证与加载次序无关。,计算方法：“先分解，后叠加。”先分解-应先分解为各种基本变形，分别计算各基本变形。后叠加-将基本变形计算某量的结果叠加即得组合变形的结果。,Mechanicsofmaterials,可见当挠度（变形）较大时，弯矩中与挠度有关的附加弯矩不能略去。虽然梁是线弹性的，弯矩、挠度与P的关系却仍为非线性的，因而不能用叠加法。除非梁的刚度较大，挠度很小，轴力引起的附加弯矩可略去。,Mechanicsofmaterials,1）将组合变形按基本变形的加载条件或相应内力分量分解为几种基本变形；2）根据内力分布，确定可能危险面；3）根据应力分布，找出可能的危险点；根据叠加原理，得出危险点应力状态；4）根据构件的材料选取强度理论，由危险点的应力状态，写出构件在组合变形情况下的强度条件，进而进行强度计算。,叠加法的主要步骤为：,Mechanicsofmaterials,+,=,拉伸（或压缩）与弯曲的组合（Combinedaxialloadingandbending）,Mechanicsofmaterials,+,=,Mechanicsofmaterials,挡土墙,强度条件：,挡土墙底部截面轴力和弯矩最大，为危险截面，其最大和最小应力为：,x截面任意点应力：,Mechanicsofmaterials,例6.2图a所示起重机的最大吊重F=12kN，许用应力，试为横梁AB选择合适的工字钢。,解：根据横梁AB的受力图，由平衡方程可得：,危险截面为C点左侧截面。,注意：求工字钢截面几何尺寸时，因为A、W不可能同时获得，所以不能同时考虑弯矩与轴力条件，可先按弯曲强度条件试算，再按弯压组合进行强度校核。,Mechanicsofmaterials,查型钢表，可选用16号钢，按弯压组合强度条件，可知C点左侧截面下边缘各点压应力最大：,说明所选工字钢合适。,按弯曲强度条件可得：,Mechanicsofmaterials,铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力t30MPa，许用压应力c120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。,解：（1）计算横截面的形心、面积、惯性矩,（2）立柱横截面的内力,Mechanicsofmaterials,（3）立柱横截面的最大应力,（2）立柱横截面的内力,Mechanicsofmaterials,（4）求压力F,Mechanicsofmaterials,当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起偏心拉伸或偏心压缩。以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力为例，说明偏心拉伸（压缩）杆件的强度计算。,偏心拉（压）截面核心（Eccentricloads&thekernofasection）,Mechanicsofmaterials,将偏心拉力F向轴线简化，得到与轴线重合的拉力F和力偶矩My、Mz,Mechanicsofmaterials,偏心拉伸是拉伸与弯曲的组合变形。按叠加原理求解。,任一横截面n-n上任意点C的正应力由三种内力产生：,由,可得,Mechanicsofmaterials,要求最大应力，应先确定中性轴的位置。令中性轴上各点的坐标为y0,z0,由于中性轴上各点的应力等于零，则有：,中性轴方程,中性轴是一条不通过截面形心的直线。,Mechanicsofmaterials,若中性轴在y、z轴上的截距分别为ay、az，代入上式令z00，相应的y0即为ay，同理可得az：,ay、az分别与yF,zF符号相反，即中性轴与外力作用点分别位于截面形心的两侧。对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与截面周边相切，两切点D1、D2即为离中性轴最远的点，就可求得最大拉应力和最大压应力。,Mechanicsofmaterials,对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处，可根据变形来确定。,D1,D2,Mechanicsofmaterials,（偏心拉、压问题的）截面核心：,当压力作用在此区域内时，中性轴不穿过横截面，横截面上无拉应力。,Mechanicsofmaterials,即将矩形截面对称轴等分三段，外力作用在三分段中间段内时截面上无拉应力。此时，中性轴由截面边缘移出。类似可确定其它截面的截面核心。,四、截面核心：,Mechanicsofmaterials,例10-3图示为一厂房的牛腿柱，设由房顶传来的压力P1=100KN，由吊车梁传来压力P2=30KN，已知e=0.2m，b=0.18m，问截面边h为多少时，截面不出现拉应力。并求出这时的最大压应力。,解：1.求内力：,2.求应力：,M=P2e=6KN.m,N=P1+P2=100+30=130KN,Mechanicsofmaterials,平面弯曲：当横向力或外力偶作用在构件的纵向对称面内,平面弯曲,斜弯曲,Mechanicsofmaterials,斜弯曲：作用在构件上的横向力通过截面形心，但不与对称轴重合；,特点：构件的轴线变形后不再是载荷作用平面内的平面曲线，而是一条空间曲线；,Mechanicsofmaterials,梁的斜弯曲可看成由Fy、Fz分别产生的两个平面弯曲叠加而成。且危险截面均为固定端处截面。,Mechanicsofmaterials,Mechanicsofmaterials,则危险截面上的任意点的应力为：,Mechanicsofmaterials,D1点：,D2点：,强度条件：,Mechanicsofmaterials,自由端截面形心B的位移包括：因Fy引起的垂直位移和因Fz引起的水平位移：,一般情况下，故，这表明挠度所在的平面与外力作用平面并不重合。,Mechanicsofmaterials,当（如圆截面），则载荷通过截面形心任意方向均形成平面弯曲，若圆截面直径为D，则有,两个平面弯曲的组合可以组成新的平面弯曲（如圆形方形截面），也可以组成斜弯曲。,Mechanicsofmaterials,例10-1悬臂梁如图示。全梁纵向对称平面内承受均布荷载q=5KN/m，在自由端的水平对称平面内受集中力P=2KN的作用。已知截面为25a工字钢,材料的E=MPa，试求：梁的最大拉、压应力。,解：（1）固定端截面为危险截面。,（2）由于截面对称，最大拉压应力相等。,Mechanicsofmaterials,以矩形截面的悬臂梁为例，在端部C点受力F，F通过截面形心，与y轴夹角为,建立坐标系，将F分解成沿y和z的分量,梁的斜弯曲可看成由Fy、Fz分别产生的两个平面弯曲叠加而成。且危险截面均为固定端处截面。其上弯矩值为：,Mechanicsofmaterials,则危险截面上的任意点的应力为：,危险点为固定端截面的1点拉应力最大，2点压应力最大：,强度条件为：,Mechanicsofmaterials,自由端截面形心B的位移包括：因Fy引起的垂直位移和因Fz引起的水平位移：,一般情况下，故，这表明挠度所在的平面与外力作用平面并不重合。,Mechanicsofmaterials,要区分平面弯曲与斜弯曲问题。对于实心截面杆件，平面弯曲的重要特点之一是中性轴是通过形心的一条形心主轴，它与载荷作用线垂直或与截面上弯矩矢量作用线重合，而斜弯曲杆件的中性轴不再是形心主轴，它与载荷（或弯矩矢量）作用线不再有上述关系，其位置可由表达式确定。,当（如圆截面），则载荷通过截面形心任意方向均形成平面弯曲，若圆截面直径为D，则有,两个平面弯曲的组合可以组成新的平面弯曲（如圆形方形截面），也可以组成斜弯曲。,Mechanicsofmaterials,例2矩形截面木檩条如图，跨长L=3m,受集度为q=800N/m的均布力作用，=12MPa，许可挠度为：L/200，E=9GPa，试选择截面尺寸并校核刚度。,解：外力分析分解q,26,Mechanicsofmaterials,扭转与弯曲的组合变形常发生在皮带传动轴、铣床变速箱轴、电机轴外伸段。,扭转与弯曲的组合(Combinedbendingandtorsion),Mechanicsofmaterials,设直径为d的等直圆杆，A端固定，B端有与AB成直角的刚臂，并承受铅垂力F的作用。,作弯矩图和扭矩图，可知危险截面为固定端截面S：,A,B,F,Me,Mechanicsofmaterials,危险截面上的1点和2点有最大弯曲正应力和最大扭转切应力，为危险点：,对于许用拉、压应力相等的塑性材料制成的杆，1点和3点的危险程度是相同的。,Mechanicsofmaterials,Mechanicsofmaterials,由第三强度理论建立强度条件：,由第四强度理论建立强度条件：,（1）,（2）,Mechanicsofmaterials,代入(1)、（2）式得：,（4）,（3）,Mechanicsofmaterials,注意：(1)(2)两式适用于平面应力状态，而不须考虑是由何种变形引起的；(3)(4)两式仅适用于弯扭组合下的圆截面杆。,Mechanicsofmaterials,第三强度理论：,第四强度理论：,塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形,式中Wz为抗弯截面系数，M、T为轴危险面弯矩和扭矩,解题步骤：将外力向轴线简化得力学简图，分析变形；作内力图，分析危险截面，即T,M较大的截面；应用强度条件式进行校核。,Mechanicsofmaterials,传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩Me=300N.m。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合力F1=1400N，轴的材料许用应力=100MPa。试按第三强度理论设计轴的直径d。,解：（1）受力分析，作计算简图,Mechanicsofmaterials,（2）作内力图,危险截面E左处,Mechanicsofmaterials,Mechanicsofmaterials,（2）作内力图,危险截面E左处,（3）由强度条件设计d,Mechanicsofmaterials,例6.3齿轮轴AB。已知齿轮1、2的节圆直径为D1=50mm，D2=130mm。在齿轮1上，作用有切向力Fy=3.83kN,径向力FZ=1.393kN，在齿轮2上，作用有切向力Fy=1.473kN,径向力FZ=0.536kN。轴的直径d=25mm，材料为45号钢，许用应力。试按第三强度理论校核轴的强度。,解：将各力向轴线简化，得轴的计算简图，,Mechanicsofmaterials,可见，Me1、Me2使轴扭转；Fy、Fy引起xy平面内的弯曲；Fz、Fz引起xz平面内的弯曲；,对于圆截面轴，包含轴线的任一平面都是纵向对称面，所以，把同一横截面上的两个弯矩My、Mz按矢量合成后，合成弯矩M的作用平面仍然是纵向对称面，仍可按对称弯曲计算弯曲正应力。,最大合成弯矩在C截面：,Mechanicsofmaterials,在CE段内各横截面上的扭矩相同，所以C截面的右侧是危险截面，扭矩为,由第三强度理论的强度条件得,轴AB符合强度要求。,Mechanicsofmaterials,解：两柱横截面上的最大正应力均为压应力,例4图示不等截面与等截面柱，受力P=350kN，试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。,图（1）,图（2）,Mechanicsofmaterials,例5图示钢板受力P=100kN，试求最大正应力；若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？,解：内力分析如图,坐标如图，挖孔处的形心,Mechanicsofmaterials,应力分析如图,孔移至板中间时,Mechanicsofmaterials,解：拉扭组合,危险点应力状态如图,例6直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN,=100MPa,试按第三强度理论校核此杆的强度。,故，安全。,Mechanicsofmaterials,组合变形时的合理设计,1、尽量避免偏心受载结构,Mechanicsofmaterials,2、采用适应变形特点的合理截面,Mechanicsofmaterials,总结：以上介绍的合