第4章-变形体静力学基础

材料力学,材料力学是研究各类构件（主要是杆件）的强度、刚度和稳定性的学科，它提供了有关的基本理论、计算方法和实验技术，使我们能合理地确定构件的材料和形状尺寸，以达到安全与经济的设计要求。,1、材料力学的任务,在生产实际中，各种机械和工程结构得到广泛应用。组成机械的零件和结构的元件，统称为构件。,举两个例子,变速器传动轴受力变形、工作失稳,齿轮,传动轴,对构件设计的要求,构件应具备足够的强度（即抵抗破坏的能力），以保证在规定的使用条件下不致发生破坏。,构件应具备足够的刚度（即抵抗变形的能力），以保证在规定的使用条件下不产生过分的变形。,构件应具备足够的稳定性（即维持其原有平衡形式的能力），以保证在规定的使用条件下不产生失稳现象。,材料力学的任务,由上述三项构件安全工作的基本要求可以看出：如何合理的选用材料（既安全又经济）、如何恰当的确定构件的截面形状和尺寸，便成为构件设计中十分重要的问题。,材料力学的主要任务是：研究构件在外力作用下的变形、受力和破坏规律，为合理设计构件提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论和方法。,2、材料力学研究的对象,材料力学主要研究杆件,横向尺寸远小于纵向尺寸的构件,3、杆件变形的基本形式,#轴向拉伸与压缩#剪切与挤压#扭转#弯曲,（1）轴向拉伸和压缩,拉伸变细变长,压缩变短变粗,拉力与压力都是沿杆的轴线方向,（2）剪切和挤压,剪切变形,挤压变形,剪切变形,（3）扭转,（4）弯曲,4、外力、内力与应力,外力：是指由其他物体施加的力或由物体本身的质量引起的力,内力：是指在外力作用下物体内各个部分之间的作用力,应力：是内力分布的集度，可以理解为是单位面积的内力,应力是内力分布的集度，可以理解为是单位面积的内力,s0,s0,t0)-(3),19,综合考虑平衡条件、变形几何关系、物理关系后，得到七个方程，可求出FA、FB、A、B、hA、hB、x等全部未知量。,将x代入平衡方程，即可求得FA、FB。,20,各有关参数的影响：弹簧自由长度h越大、弹簧刚度k越大、人的体重W越小，可以走过的距离x越大。x之值与a2成正比，与板长L成反比。,结果讨论与分析一：,正确性条件：x0否则变形几何条件(3)不适用hW/2k,特例：当L=(2hk/W-1)a时，x=a，即在某特定板长下，人走到B处板即触地。,21,-（b）,结果讨论与分析二：,xa时，A0，弹簧A变形如图，是伸长。,B0。弹簧B变形与假设一致，受压。且x，B。,xL2=L3；,37,是材料的一种应力应变关系模型，称为线性弹性应力应变（物理）关系模型。,轴向拉压杆的应力、应变和变形L可表达为：,EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。,=E,38,EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。,FN、L、E、A改变，则须分段计算。,轴向拉压杆变形分析汇总：,求轴力FN？,39,2)求各段应力：AB=FNAB/A1=40103N/(32010-6)m2=125106Pa=125MPaBC=FNBC/A2=40103/(80010-6)=50MPa；CD=FNCD/A2=48103/(80010-6)=60MPa,解：1)求内力(轴力)，,例4.5杆AB段为钢制，横截面积A1=320mm2，BD段为铜，A2=800mm2，E钢=210GPa；E铜=100GPa；l=400mm。求杆各段的应力、应变和总伸长量AD。,画轴力图。,40,4)杆的总伸长为：lAD=lAB+lBC+lCD=0.68mm,2)求各段应变：eAB=sAB/E钢=125/(210103)0.610-3,3)求各段伸长：注意:l=el=sl/E=FNl/AElAB=eABlAB=0.610-3400mm=0.24mm,lBC=eBClBC=0.2mm；lCD=eCDlCD=0.24mm,eBC=sBC/E铜=50/(100103)=0.510-3eCD=sCD/E铜=0.610-3,41,讨论：杆受力如图。BC段截面积为A，AB段截面积为2A，材料弹性模量为E。欲使截面D位移为零，F2应为多大？,解：画轴力图。,有：D=lAD=lAB+lBD=FNABl/E(2A)+FNBDl/EA,注意：固定端A处位移为零。,42,43,例4-6图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为1515的方截面杆。,解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象,45,44,2、计算各杆件的应力。,45,前节回顾：,研究变形体力学问题的主线是：,求约束反力,46,EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。,FN、L、E、A改变，则须分段计算。,47,请认真思考、讨论思考题。习题:4-1(a)、(c)、(d)4-2(b);4-5;4-7。,48,一、应力内力连续分布在截面上，截面法确定的是内力的合力。,T是矢量，法向分量称正应力；切向分量称剪应力。,49,注意：一般情况下，内力非均匀分布，截面各点应力不同。,2)轴向拉压杆横截面上的应力：,截面上只有轴力，故应力为正应力。变形沿轴向是均匀的，故在横截面上均匀分布，,50,4)一点的应力状态：,单向拉压杆横截面上只有正应力。故A点的应力状态可用由横截面、水平面截取的微小单元体上的应力描述。是单向应力状态。,一点的应力状态用围绕该点截取的微小单元体上的应力来描述。单元体尺寸微小，各面上的应力可认为是均匀的。,由定义有：故可知，一点的应力与过该点之截面的取向有关。,51,设s已知，A点在法向与轴线夹角之截面上应力为、，,斜截面上的应力：,Fx=(dx/sin)1cos,注意式中各项是力的投影分量。,由单位厚度微元力的平衡条件可得：,+(dx/sin)1sin-(dx/tg)1=0,Fy=(dx/sin)1sin-(dx/sin)1cos=0,cosa,52,=0时，=，=0，横截面上正应力最大；,求得A点在与轴线夹角为之截面上的应力为:=(1+cos2)/2；=sin2/2,如：铸铁试样受压时，=45斜截面上的应力和为：=-/2;=-/2铸铁抗压能力远大于抗剪或抗拉能力，故实验时先发生与轴线大约成45，剪切破坏。,可见：拉压杆斜截面上有正应力和剪应力。,=45时，=/2，=/2，45斜截面上剪应力最大，且max=/2。,53,对于单向拉、压杆，任一点A的应力状态为：,只要确定了一种单元体取向时各微面上的应力，即可求得该点在其他任意取向之截面上的应力。,结论：1)应力是矢量。2)一点的应力与过该点的截面取向有关。3)可以用微小单元体各面上的应力描述一点的应力状态。,54,变形：物体受力后几何形状或尺寸的改变。-用应变表示如拉压杆（应变=l/l0），与几何尺寸无关。,一点的应变可由考查该点附近小单元体的变形而定义。变形包括单元体尺寸和形状二种改变。,线应变、剪应变分别与s、t的作用相对应。,二、应变,55,4.7变形体静力学分析,再论利用力的平衡、变形几何协调及力与变形间的关系，分析变形体静力学问题的基本方法。,例4.9图中BD杆直径d=25mm，CD杆为3080mm矩形截面，弹性模量E=200GPa，求D点的位移。,56,由力与变形间的物理关系知各杆变形为：lBD=FNBDlBD/E(d2/4)=1.34410-3mlCD=FNCDlCD/EACD=-0.137510-3m,故变形后D点的位移为：水平位移：u=DD2=lCD=0.137mm()垂直位移：v=D2H+HD=DD1/cosa+DD2=lBD+lCD=2.038mm(),3)变形几何协调条件：(求位移),变形后D点应移至以B、C为圆心，以杆变形后的长度为半径的二圆弧交点D处。变形量与原尺寸相比很小，用切线代替圆弧。几何关系如放大图。,57,58,静定问题,二个物体，6个平衡方程三处铰链，6个约束力问题是静定的。,变形体力学静定问题的求解方法为：,59,求出内力后，应力、变形和位移显然不难求得。,60,静不定结构可减小构件内力，增加刚度，减小变形。,若去掉杆1，成为静定结构，则：F2=3F/2；FAy=-F/2。,3个物体，9个平衡方程；5处铰链，10个约束反力问题是一次静不定的。,静不定问题，反力、内力、应力均与材料有关。,61,温度应力：,解：温度升高时，杆BC要伸长。二端约束限制伸长，引起约束反力。约束反力作用的结果是使杆在轴向受压缩短，故二端约束力如图。,无外力作用时，温度变化在静不定构件内引起的应力。,轴力FN=F，故杆的缩短为：LR=FL/EA,62,约束使杆长不变，必有：LT=LR,3)变形几何协调条件：,即：TL=FL/EA,故得到二端约束反力为：F=TEA杆内的应力（压应力）为：=F/A=TE,63,解：强迫安装时，杆2受拉伸长，杆1、3受压缩短。,64,3)力与变形的关系:,1=F1L/EA；2=F2L/EA即有：F1L/EA+F2L/EA=注意F2=2F1解得：F1=EA/3L(压力)F2=2EA/3L(拉力),各杆应力为：1=F1/A=E/3L=0.510-3200109/31=33.3106Pa=33.3MPa(压应力)2=N2/A=2E/3L=66.7MPa(拉应力),65,静定和静不定问题解题方法的同异：,基本方程都是平衡方程、物理方程和几何方程。,66,4.8应力集中的概念,沿aa上各点测得的应变如图。非均匀分布，孔边=max。由虎克定律,应力分布也非均匀，孔边最大应力为max=ktave。(max1,称为弹性应力集中系数。,67,应力集中：max=ktave构件几何形状改变的局部出现应力增大的现象。,应力集中发生在截面几何发生突然改变处，如孔、缺口、台阶等处。应力集中系数，可由应力集中手册或图表查得。,68,讨论1：图示结构中，AB为刚性梁，二杆E、A相同。变形后