高考中的二项式定理问题分类解析

高考中的二项式定理问题分类解析二项式定理问题相对独立，高考对二项式定理的考查，以二项展开式及其通项公式内容为主，题型繁多，解法灵活且较难掌握。本文结合近年来的高考试题，将二项式定理的问题归为十类进行解法探讨，希望能对大家的学习有所帮助。1 确定二项式中有关元素 例1（1994年全国高考题）在展开式中，x5的系数是x6系数与x4系数的等差中项，则m=_。 解：依题意，42m2=7m+35m3， 结合得，m=1 。2 求二项展开式中的常数项例2（2001年上海高考题）在展开式中，常数项为_。 解： 令6-r-2r=0得，r=2 ，所以常数项为 。3 求二项展开式中条件项的系数例3（2001年全国高考题）在的二项展开式中，x3的系数为_。 解： 令10-r=3得，r=7，所以x3的系数为 。例4（1999年上海高考题）在的展开式中，含x5项的系数是_。 解： 令15-5r=5得，r=2，所以含x5项的系数是 。4 确定和（积）展开式中条件项系数例5（1990年全国高考题）在的展开式中，x2的系数等于_。 解：x2的系数等于四个展开式中含x2的系数和，即为 。例6（1998年全国高考题）在的展开式中x10的系数为_。解：的展开式中x10的项为的展开式中x10 、x8的项分别与(-1)、x2相乘而得的和。因此x10的系数为： 。5 求展开式各项系数和（差）例7（1989年全国高考题）如果，那么a1+a2+a7的值等于 （ ） A -2 B -1 C 1 D 2解：令x=0，则有a0=(1-20)7=1 ；令x=1，则有a0+a1+a2+a7 =(1-21)7= -1 。a1+a2+a7= -1-1= -2 。例8（1999年全国高考题）若，则的值为 （ ） A 1 B -1 C 0 D 2 解：令x=1，则有a0+a1+a2+a3+a4 = 令x= -1，则有a0-a1+a2-a3+a4 = ，从而 故选（A） 。6 确定展开式的最大（小）项 例9（1993年上海高考题）(x-1)9按x降幂排列的展开式中，系数最大的项是 （ ）A 第4项和第5项 B 第5项C 第5项和第6项 D 第6项 解：根据二项式系数的性质，(x-1)9的展开式中的中间两项即第5项和第6项的二项式系数相等，同时取得最大值。但考察项的系数时，第6项系数需乘以（-1）得负，而第5项的系数为正，因此只有第5项的系数最大，而第6项的系数最小，选（B）。7 求展开式有理数的项数例10（1993年全国高考题）将展开所得的x的多项式中系数为有理数的项共有 （ ）A 50项 B 17项 C 16项 D 15项 解： 由于是整数，要使系数为有理数，当且仅当均为整数，即r是6的倍数。而在0到100之间6的倍数共有17个，故选（B）。8 利用二项式定理解整除问题例11（1992年“三南”高考题）除以100的余数是_。 解：= 除以100的余数是81 。9 利用二项式定理进行近似计算例12（1996年全国高考题）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22，人均粮食占有量比现在提高10，如果人口年增长率为1，那么耕地平均每年至多减少多少公顷（精确到1公顷）？ 解：设耕地平均每年至多减少x公顷，又设该地区现有人口P人，粮食单产M吨/公顷。依题意得，化简得，即耕地平均每年至多只能减少4公顷。10与其它数学知识交汇考查例13（2003年上海高考题）已知数列an（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列。（1）求和：，；（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明。解：（1）=a12a1qa1q2=a1(1q)2； = a13a1q3a1q2a1q3=a1(1q)3。 （2）归纳概括的结论为：若数列an是首项为a1，公比为q的等比数列，则，n为正整数。证明如下： 。评述：本题是二项式定理知识与数列知识的综合应用。例14（2003年江苏高考题）若a0，n，设y=（xa）n，求证