高中数学教学中渗透数形结合思想的重要性

高中数学教学中渗透数形结合思想的重要性梅厂中学艾宴会高中数学教学中渗透数形结合思想的重要性摘要：一直以来，函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归等四大数学思想，是贯穿高中数学始终的重要思想，多年来的高考试题中，也把这些思想体现的淋漓尽致。四种方法在高中教材的地位不分伯仲，这里，只和大家一起分享个人对数形结合思想方法的学习和感受。数形结合思想方法，在解决一些抽象的数学问题时，更能体现出神奇的数学之美以及思维的灵活之美，往往起到事半功倍的效果。也正因为我个人对此思想的“迷恋”，在教学中加强渗透数形结合思想应用的意识更加自然。同时，提高学生数学素质与解题能力的任务，也在潜移默化中得以完成。关键词：高中数学 数形结合 数学思想 数学学习一、个人对数形结合思想的理解众所周知，我国著名数学家华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。这种上升为艺术层面的、对数形结合的诠释已经完美的无可挑剔。但是，我还是按捺不住个人对数形结合思想的情愫，数形结合的主旨思想是实现“数”与“形”之间的矛盾统一，使其一一对应，并且相辅相成，相依为命。数学的强大之处在于，用简单的字符、字母、数字或者式子，把冗长的文字简化的呈现在读者面前，数形结合思想，又实现了直观图形与抽象数字的完美结合，就像画家的画笔与诗人的墨笔和谐相遇。简而言之，数形结合就是以数解形、以形助数的数学思想方法，通过抽象思维和形象思维的“联手”优化解题途径。用这种思想来解决数学问题，可以使抽象的问题具体化、复杂的问题简单化，既能发挥代数的优势，又能充分利用图形的直观性，从而实现对问题多元化的探索，同时对思维能力的发展大有稗益。数形结合的思想是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题，使数学在科学实践和生活实践中的应用显得更加广泛和深入。二、直觉思维对数形结合的影响记忆中，大学的心理课程里有“直觉思维”这个概念，我又重新查找了它的完整定义：所谓直觉思维就是人脑对于突然出现在面前的事物、现象、问题及其关系的一种迅速识别，敏锐而深入的洞察，直接的本质理解和综合的整体判断。直觉思维贯穿于日常生活学习中,具有迅捷性、直接性、本能意识等特点。然而，这种思维也可以通过后天努力填补空缺。由于我们传统意识的影响，生活中的性别比例逐渐有所失调，男孩多于女孩。然而，男女生的天性差别和优胜劣汰的生存法则，从某个层面决定了不同年龄阶段性别的分布。比如高中学生中，男女生人数旗鼓相当，但是，优生中男生占绝对优势。这种现象的形成，很大一部分原因和直觉思维有关。男生天生整体思维突出，善于辨别和判断，具有较强的空间想象能力，有较强的“形”的感知力。随着年级的上升，数学知识日渐深化，难度逐步提高，要求学生有较强的数学能力，男生的这种先天优势得以施展。特别是数形结合思想的学习和运用，男生比女生应用的更灵活一些，这是因为男生的直觉思维远远超过女生。我们做题的过程是先读题、审题，然后对已知和所求进行汇总，通过直觉思维对解题方法做出初步判断是否应用数形结合。因此，直觉思维的活跃度，与数形结合思想方法的掌握度几乎是成正比的。也正因为这样，高中数学课程中渗透数形结合思想显得尤为重要，让天生占优势的男生把这种思想应用到炉火纯青的地步，不占优势的女生也能通过后天的努力娴熟掌握这种思想，最后在高考中跟时间赛跑取得胜利。三、高中函数题目数形结合的体现现行的数学课改教材，在内容上的变化特点明显，适合学生的认知水平和接受能力，适应人类新型知识体系的构建和形成，使数学本身的应用价值、文化价值和智力价值充分彰显出来，确立了它在学校课程中的重要地位。课程内容强调“学生为主体教师为主导”的数学活动,发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念以及应用意识和能力，为大学数学课程的学习奠定坚实基础。数形结合在高中数学课程中的应用非常广泛集合运算与维恩图，解不等式或者求参数，函数及其图像，解析几何，向量等等。然而，函数是高中数学的基础和核心，也是高考考查的重点，学生对基本函数的掌握已经有十一种之多，每个函数的表达式及其性质都是结合其图像掌握记忆的。学生们还把这些函数图象与生活中的一些常见身体姿势相联系，并用漫画和文字顺口溜的形式表述出来，便于记忆。高中教师在数学教学中，首要任务之一就是采用归纳和提炼的方法，引导学生在数学学习过程中，充分挖掘教材中的数形结合思想，使这种深层的数学学习，在平时的应用中循序渐进、由浅入深，寻找到解题思路后，把问题化繁为简、化难为易，达到自觉、自由的熟练运用。例1. 已知函数，若为方程的根，且，则的值（ ）(A)恒为正 (B)等于零 (C)恒为负 (D)不小于零【思路点拨】画出函数和的图像，由图即得。【精讲精析】判断值的正负，即比较函数和在处值的正负，由图可得。101【答案】C【点评】本题考查学生转化化归思想，以及对函数图像的灵活应用，属于基础题目。例2. 若是方程的根，则属于区间（ ）(A) (B) (C)(D) 【思路点拨】应用零点存在定理，或者利用数形结合画图分析。【精讲精析】利用幂指数比较大小，确定区间端点函数值的正负，应用零点存在定理，即函数在区间连续，且满足 ，则在区间存在零点。或者画出和的图像即可。如下图：01【答案】C【点评】本题考查幂指函数的基本知识和图像的掌握，利用数形结合，既直观又便捷。属于基础题目。例3(2012天津高考理科14)已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 。【思路点拨】化简函数，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，数形结合求得k的范围。【精讲精析】根据绝对值的意义，在直角坐标系中作出该函数的图象如图所示。10-1-2-2函数的图象直线恒过定点，且，由图象可 【答案】 【点评】本题是基本的绝对值、一次函数、函数与方程知识点的综合应用，是典型的数形结合思想应用求参数范围的题目。主要考查学生对基础知识的掌握和应用能力，画图过程中必须注意到端点的虚实。属于中等难度题目。例4. (2013天津高考理科T7)函数的零点个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【思路点拨】先利用零点的四种等价说法把题目进行转化，再利用数形结合的方法求解，图象交点的个数即为零点的个数。【精讲精析】函数的零点即的解,即的解,作出函数和函数的图象, 0由图象可知,两函数共有两个交点,故函数有2个零点。【答案】B【点评】本题是综合零点的等价转化、指对函数基本图像、图像变换等知识，考查学生综合解决问题的能力。属于中等难度题目。例5.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，若方程，在区间上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=()A.-12B.-8C.-4D.4【思路点拨】根据函数的性质，作出其在上的图象,数形结合求解。【精讲精析】因为是定义在R上的奇函数，满足，所以，所以函数图象关于直线x=2对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数。又因为在区间上是增函数，所以在区间上也是增函数，在区间上的大致图象如图所示，那么方程在区间上有四个不同的根x1、x2、x3、x4，不妨设x1x2x3x4，由对称性知即，同理：，所以。-8-4480【答案】B【点评】本题是函数性质的综合应用，要求学生在熟练掌握性质的基础上，灵活应用性质解决函数问题,属于中等偏难题目。例6. (2011天津高考理科T8)对实数和，定义运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是( )A B C D【思路点拨】本题需要先利用函数零点的四个转化，把问题转化成图像交点问题，同时还要求学生对新概念的理解正确，然后利用数形结合思想解决。【精讲精析】,函数,xyy=由图可知，当，函数与的图像有两个公共点， c的取值范围是。【答案】B【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中等偏难题目。四、应用数形结合的原则及注意事项通过数与形相互转化解决数学问题，最终实现数形结合，通常和以下内容有关：（1）实数与数轴上的点一一对应；（2）函数与图象一一对应；（3）曲线与方程一一对应；（4）以几何元素及其背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给表达式的结构有明显的几何意义。应用数形结合的思想时，应本着以下三个原则：等价性原则图形有局限性，不能完整体现数的严谨性，只是一种浅显、直观的表现，数与形的转化必须是等价的，否则会出差错；双向性原则代数抽象探索与几何直观分析务必同步进行，缺少任何一方都如同单脚走路，万分艰难；简单性原则明确解题思路后，通过比较代数方法与几何方法，筛选哪种方法更简单，或者数与形两者兼用。一旦确定运用数形结合思想分析和解决问题，要注意三点：彻底弄清楚相关概念和运算的几何意义，以及曲线的代数特征，对题目中条件与结论的几何意义和代数意义一同分析；“形”中觅“数”、“数”上构“形”，建立两者关系，做好数形转化；恰当设参、合理用参，正确确定参数的取值范围。几何图形反映数量关系，数量关系决定几何图形是数形结合的本质，进行数形转化的目的是为了把形的生动性和直观性，与数的规范性和严密性相结合，使抽象问题迎刃而解。五、教学中运用数形结合思想的收获所谓的“数形结合”，就是数学问题中已知和所求的 “桥”，为两者提供内在联系的依据，通过分析题目中的代数意义，揭示其几何的直观意义。因此，数形结合这一数学方法的有效运用，在高中数学教学中发挥着非常奇妙的作用。下面就和大家一起分享一下，我的学生在运用此种方法中所得到的惊喜和收获，也许不是最好的方法，但却是相对简便且容易理解的方法。例.（期中考试T19）已知函数,且在区间上的最大值为0。(1)求函数的解析式；(2)判断函数在区间内的零点个数，并加以证明。【精讲精析】(1)显然，在上恒成立，且能取到等号在上恒成立，且能取到等号 在上单调递增 (2)方法一：来源于参考答案，且函数的图象在上连续不断当时，在上单调递减 存在唯一使 又在上单调递增，在上单调递减 注意到，在上有唯一零点，即函数在内有一个零点。【点评】导数问题是课改以来高考大题的必考题型，当导数等于零的方程不能求根时，就把导函数看成一个新的函数，继续求导函数的导数，研究原函数的导函数的单调性和函数的正负。此方法是此类问题的通法，但是学生掌握起来较为困难。方法二：来源于我的学生考试过程中做出的答案由(1)知,要求 在区间上的零点个数，只需求正弦函数与反比例函数图像在区间上的交点个数，如下图。函数在内有一个零点。y= 01yxy=sinx方法三：来源于我的学生考试过程中做出的答案,由得即下面