综合法和分析法 (人教A版选修)

直接证明与间接证明,2.2,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.,数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.,复习,例:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc,因为b2+c22bc,a0所以a(b2+c2)2abc.,又因为c2+b22bc,b0所以b(c2+a2)2abc.,因此a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.,证明:,在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法也叫顺推法,用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.,则综合法用框图表示为:,1、综合法：,综合法是由一个个推理组成的,特点：由因导果,例：求证：,证明：因为都是正数，,所以为了证明,只需证明,展开得,即,只需证明210)的证明.,证明:要证;只需证;只需证;只需证;因为;成立所以成立,还原成综合法：,题型一综合法的应用,【名师点评】综合法证明问题的步骤：第一步：分析条件，选择方向仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法第二步：转化条件，组织过程把题目的已知条件，转化成解题所需的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路第三步：适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取,互动探究1.已知abc6.求a2b2c2的最小值,题型二分析法的应用【思路点拨】题目条件适合使用分析法证明不等式，只需要注意分析法证明问题的格式即可,名师微博分类讨论是关键！,名师微博平时练习时，这一步你想到、做到了吗？【名师点评】应用分析法证明问题的模式(若p则q形式)如下：为了证明命题q为真，只需证命题p1为真，从而有只需证命题p2为真，从而有只需证明命题p为真，而已知p为真，故q必为真,变式训练,题型三综合法与分析法的应用ABC的三个内角A，B，C成等差数列求证：(ab)1(bc)13(abc)1.,只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2.ABC三个内角A，B，C成等差数列，B60.由余弦定理，有b2c2a22cacos60.即b2c2a2ac，c2a2acb2，此式即分析中欲证之等式，即原式得证法二：ABC三个内角A，B，C成等差数列，B60.,【名师点评】综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析、综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可推出Q，即可得证,变式训练,1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)，当x1时，f(x)单调递增，如果x1x22且(x11)(x21)2x2.由x21，故x12x21.f(x1)f(2x2)，f(2x2)f(x2)，f(x1)f(x2)，即f(x1)f(x2)0.,答案：ABC,3.已知ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明：B为锐角,方法技巧分析法与综合法的优缺点综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程,失误防范1.利用综合法证明问题时，要把产生某结果的具体原因写完整，不可遗漏另外，要注重对已知条件的分析、利用2.用分析法书写证明过程时，格式要规范，一般为“欲证，只需证，只需证，由于显然成立(已知，已证)，所以原结论成立”其中的关联词语不能省略,小结：,分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中:分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数