第4讲 半群和群的定义和性质

第十章群与环-半群和群的定义和性质,2020/4/26,2,主要内容,半群独异点群,2020/4/26,3,半群,定义10.1(1)：是一个代数系统，其中S是非空集合，是S上的一个二元运算(运算是封闭的)，如果运算是可结合的，即对任意的x,y,zS，满足(xy)z=x(yz)则称代数系统为半群.,2020/4/26,4,例10.1,为半群设n2,为半群,为半群A=a1,a2,.,an,nZ+,*为A上的二元运算,a,bA有ai*aj=ai,则A关于*运算构成半群Sk=x|xZxk，为半群，不是半群,2020/4/26,5,例10.2,=a,b，+为所有由a,b组成的字符串,“”为字符串的连接运算.则做成半群。,2020/4/26,6,独异点,定义10.1(2)：设是一个半群，若存在eS为S中关于运算的单位元,则称为幺半群，也叫做独异点。(有时也把单位元标明),2020/4/26,7,例10.1,Sk=x|xZxk，(k0)？,不是独异点,是独异点,2020/4/26,8,例10.2,=a,b，+为所有由a,b组成的字符串,“”为字符串的连接运算.思考：半群是否做成独异点？,空串*=+做成独异点,2020/4/26,9,例10.3,幂集？,2020/4/26,10,10.4,是单位元可结合性在运算表中无特殊体现,11,群(Group),定义10.1（3）：设是一个代数系统，其中G是非空集合，是G上一个二元运算，如果(1).运算是封闭的(2).运算是可结合的(3).存在单位元e(4).对于每一个元素xG，存在着它的逆元x-1则称是一个群,2020/4/26,12,例10.1,Sk=x|xZxk，(k0)？,不是群,不是群,2020/4/26,13,例10.2,=a,b，+为所有由a,b组成的字符串,”为字符串的连接运算.,空串*=+思考：独异点是否做成群？,2020/4/26,14,例10.3,幂集？单位元和逆元?,2020/4/26,15,例10.4(1-2),(1)整数加群(2)模n整数加群思考:是不是群?,2020/4/26,16,例10.4(3-6),(3)n阶实矩阵加群(4)n阶实可逆矩阵乘法群；(5)所有行列式为1的n阶实可逆矩阵关于矩阵乘法；,2020/4/26,17,例10.5,Klein四元群G=e,a,b,c,2020/4/26,18,例10.5(2),Klein四元群G=e,a,b,ce=(0,0)a=(0,1)b=(1,0)c=(1,1)运算为逐分量模2加法,2020/4/26,19,群的等价定义,定理(等价定义),可结合，若存在右单位元e，且每个元素a相对于e存在右逆元a，则G是群.,证明:封闭性可结合性单位元？逆元？,2020/4/26,20,群的等价定义,证明:证e为左单位元.aG,有ae=a,所以有ee=e(e为右单位元)。设存在aG,使得aa=e,代入得e(aa)=aa.因为aG,存在aG,使得aa=e上式两边右乘a得eaaa=aaa,而aa=e因此有ea=a.e是G中的单位元.证a为a的左逆元，设aa=ea=ea=(aa)a=a(aa)=ae=a,2020/4/26,21,群的相关术语（定义10.2）,平凡群只含单位元的群e有限群与无限群群G的阶G的基数，通常有限群记为|G|交换群或阿贝尔（Abel）群,2020/4/26,22,例10.6（交换群）,(1)无限群;(2)模6整数加群，阶为6(3)模4整数加群，阶为4(4)Klein四元群G=e,a,b,c，阶为4(5)群，阶为|P(B)|,2020/4/26,23,n次幂,定义设是一个半群，xS,nZ+,定义的x的n次幂xn为:,推广到独异点,2020/4/26,24,n次幂实例,在半群中,xZ,x的n次幂是,在半群中,xP(B),x的n次幂是,2020/4/26,25,n次幂（推广到群）,定义10.3设是一个群，xG,nZ,定义的x的n次幂xn为:,2020/4/26,26,元素的阶,定义10.4设G是群，aG，元素a的阶|a|：使得ak=e成立的最小正整数k.记作|a|=k,也称a为k阶元与群的阶比较有限群的元素都是有限阶，比群的阶小（为群的阶的因子！）；元素都是有限阶的群不一定是有限群.,2020/4/26,27,例10.6（元素的阶）,(1)无限群，|0|=1(2)模6整数加群，元素的阶(3)模4整数加群，元素的阶(4)Klein四元群G=e,a,b,c(5)群中元素的阶,2020/4/26,28,幂运算的性质,定理10.1幂运算规则(a-1)-1=a(ab)-1=b-1a-1anam=an+m(an)m=anm若G为Abel群，则(ab)n=anbn说明：等式1和2证明用到逆元定义和唯一性等式3和4的证明使用归纳法并加以讨论等式2可以推广到有限个元素之积.,2020/4/26,29,模n剩余类,设Z是整数集合，n是任意正整数，Zn是由模n的同余（剩余）类组成的集合，在Zn上定义两个二元运算+m和m:i,jZni+mj=(i+j)modmimj=(ij)modm,eg.，(令n为素数和不为素数两种),2020/4/26,30,整数同余式,定义（同余）：称整数a模正整数m同余于整数b，记为ab（modm）是指m|a-b,m称为模数。m|a-ba=q1m+r且b=q2m+r，即a和b分别除以m有相同的余数。“同余”二字的来源就在于此。,2020/4/26,31,同余关系,相对于某个固定模数m的同余关系，是整数间的一种等价关系。具有等价关系的三点基本性质：自反性：对任意整数a有aa（modm）对称性：如果ab(modm)则ba（modm）传递性：如果ab(modm）bc（modm）则ac(modm)全体整数集合Z可按模m（m1）分成一些两两不交的等价类，称之为同余类或剩余类。,2020/4/26,32,整数模m同余类共有m个，他们分别为km+0,km+1,km+(m-1)，其中kZ，每一类都可以选一个代表元，一般选这一类中的最小的非负整数。于是称0,1,2,m-1为标准完全剩余系。Z模12的标准剩余系为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,同（剩）余类,2020/4/26,33,对于某个固定模m的剩余类可以象普通的数那样相加、相减和相乘：(1)a(modm)b(modm)=(ab)(modm)(2)a(modm)*b(modm)=a*b(modm)消去率：对于abac（modm）来说，若(a,m)1则bc(modm),剩余类间的运算,2020/4/26,34,例：通过同余式演算证明560-1是56的倍数。解：注意53=12513(mod56)于是有561321691(mod56)因此有5601(mod56)，即有56560-1。,剩余类应用举例,，(令n为素数和不为素数两种),2020/4/26,35,子半群(子独异点),定义：设是一个半群，BS且*在B上是封闭的，那么也是一个半群，通常称是半群的子半群;设是一个独异点，BS,eB且*在B上是封闭的，那么也是一个独异点，通常称是独异点的子独异点。半群S的子代数是S的子半群,独异点S的子代数是S的子独异点,2020/4/26,36,子半群举例,A关于矩阵乘法构成半群,且它是的子半群,令,则V是子独异点,2020/4/26,37,子半群的交集,定理10.3:若干子半群的非空交集仍为子半群；若干子独异点的交集仍为子独异点.(只需证明封闭性)思考:若干子半群的并集是否仍然是子半群?,2020/4/26,38,同态和同构,半群与独异点的同态和同构半群f(xy)=f(x)f(y)独异点f(xy)=f(x)f(y),f(e)=e,2020/4/26,39,同态的性质,定理:设f是从代数系统A到代数系统B的同态映射，则若A是半群(独异点)，则同态象f(A)也是半群(独异点),2020/4/26,40,半群的同态性质,定理设V=为半群，V=，为映射复合，则V也是半群，且存在V到V的同态.证：设fa:SS,fa(x)=ax,faSS,且fa|aSSS,令：SSS,(a)=fa,(ab)=fab,(a)(b)=fafb为证同态只需证明fab=fafbxS,fa*b(x)=a*b*xfafb(x)=fa(b*x)=a*b*