组合(第一课时)ppt课件

.,组合(1),.,组合与组合数公式,.,问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,3,.,问题二,问题一,有顺序,无顺序,.,一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.,排列与组合的概念有什么共同点与不同点？,（一）、组合的定义:,?,.,组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.,共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”,不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.,概念讲解,.,思考一:aB与Ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?,思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?,概念理解,构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.,思考三:组合与排列有联系吗?,.,判断下列问题是组合问题还是排列问题?,(1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?,(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?,有多少种不同的火车票价？,组合问题,排列问题,组合问题,组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.,.,1.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:,ab,ac,bc,2.已知4个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合.,ab,ac,ad,bc,bd,cd,(3个),(6个),概念理解,.,从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.,如:从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:,如:已知4个元素a、b、c、d,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：,概念讲解,（二）、组合数,注意：是一个数，应该把它与“组合”区别开来,.,1.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合,abc，abd，acd，bcd.,b,c,d,d,c,b,a,c,d,练一练,.,组合,排列,abcbaccabacbbcacba,abdbaddabadbbdadba,acdcaddacadccdadca,bcdcbddbcbdccdbdcb,（三个元素的）1个组合，对应着6个排列,你发现了什么?,.,.,（三）、组合数公式,排列与组合是有区别的，但它们又有联系,一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步：,第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数,第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数,根据分步计数原理，得到：,因此：,这里m,n是自然数，且mn，这个公式叫做组合数公式,概念讲解,.,组合数公式:,从n个不同元中取出m个元素的排列数,.,组合数的两个性质:,证明:,.,公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；,此性质的作用：恒等变形，简化运算；,等式体现：“含与不含某元素”的分类思想.,.,例2计算：,解：原式,.,D,190,巩固练习,.,例,.,例一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球.（1）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？,解：（1）,取出3个球中有黑球的方法数,例题讲解,.,例1一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球.（1）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？,解：（1）,取出3个球中有黑球的方法数,取出3个球中无黑球的方法数,例题讲解,.,例一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球.（1）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？,解：（3）,按照黑球分类，,取出3个球中有黑球的方法数,从口袋内取出3个球，共有取法,另法，一次取出的方法数,取出3个球中无黑球的方法数,.,例2(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?,10个不同元素中取2个元素的组合数.,10个不同元素中取2个元素的排列数.,(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?,.,例3(1)有4本不同的书，一个人去借，有多少种不同的借法？(2)有13本不同的书，其中小说6本，散文4本，诗歌3本，某人借6本，其中有3本小说，2本散文，1本诗歌，问有几种借法？,(1)此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本,（本）,(2)解：分三个步骤完成，共有,（种）,.,练习：在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件,(1)有多少种不同的抽法?,100个不同元素中取3个元素的组合数,(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?,从2件次品中抽出1件次品的抽法有,从98件合格品中抽出2件的抽法有,.,练习在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件,(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?,法1,含1件次品或含2件次品,法2,100件中抽3件减98件合格品中抽3件,.,1课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选,.,.,.,1将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法种数有()A120种B5种C240种D180种,组合、排列的综合问题,.,2安排3名支教教师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有_种(用数字作答),.,三、混合问题，先“组”后“排”,例3对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？,解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有：种可能。,.,练习：某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法_种.,解：采用先组后排方法:,.,主要学习了组合、组合数的概念。,利用组合和排列的关系得到了组合数公式。,n个不同元素,m个元素,m个元素的全排列,第一步,组合,第二步,排列,课堂小结：,.,组合中的分组问题,6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本,.,思路点拨(1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组”问题，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”,.,.,.,规律方法“分组”与“分配”问题的解法(1)本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题大有裨益，要分清是分组问题还是分配问题，这个是很关键的,.,(2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：完全均匀分组，每组的元素个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(3)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配,.,2有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本,.,.,.,1有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是,10,26人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？,解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共有不同的去法,巩固练习,.,例1一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:,简单的组合问题,(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?,(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?,(1)没有角色差异,共有,(2)分两步完成这件事,第1步,从17名学员中选出11人上场,第2步,从上场的11人中选1名守门员,.,1、有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人(1)如果每人得两本，有多少种不同的分法；(2)如果一个人得一本，一个人得2本，一个人得3本有多少种不同的分法；(3)如果把这6本书分成三堆，每堆两本有多少种不同分法2、4名男生6名女生，一共9名实习生分配到高一的四个班级担任见习班主任，每班至少有男、女实习生各1名的不同分配方案共有多少种？,课后作业：,.,小结,2.组合数性质:,1.组合数公式:,.,例5个人站成一排共有多少种排法？其中甲必须站在中间，有多少种不同的排法？其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？其中甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种不同的排法？其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？(7)、甲与乙中间必须排2名，有几种排法？,.,例5个人站成一排其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种不同的排法？,解：甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余3人中选2人来站，有种排法，剩下的人有种排法，共有种排法.,(特殊位置预置法),(特殊元素预置法),(排除法),.,例5个人站成一排其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？,解：甲站排头有种排法，乙站排尾有种排法，但两种情况都包含了“甲站排头，乙站排尾”的情况，有种排法，所以共有种排法.,用直接法，如何分类？,一类：甲站排尾,二类：甲站中间,所以共有种排法.,.,(7)、甲与乙中间必须排2名，有几种排法？,例5个人站成一排,.,组合数的两个性质：,性质1：,性质2：,（3）,（4）,（5）,解:原式,=,(4)原式,或,原式,(5)原式,.,例1平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？,解法二：（间接法）不考虑五点共线，有,其中共线的五个点可连,条，,条,而这,条只能是一条,共可连,（条）,说明：本例是某些特殊元素有特殊归类的问题，即题中共线的五个点，只能作一条直线,.,组合、排列的综合问题,现有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内：(1)共有几种放法？(2)恰有1个空盒，有几种放法？(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？,.,思路点拨此题关键是(2)，恰有