高等数学-第一节-对弧长的曲线积分ppt课件

第九章曲线积分与曲面积分,第一节对弧长的曲线积分,第二节对面积的曲面积分,第三节对坐标的曲线积分,第四节对坐标的曲面积分,第五节Green公式,第六节Gauss公式,第七节Stokes公式,第一节对弧长的曲线积分,对整体量进行分割、作和、取极限所产生的定积分与重积分已经带来了很大的方便,但是,有些实际问题与理论问题,这两种积分还解决不了,于是,又引进了曲线积分与曲面积分,它们与前者的基本思想是一致的.,本章讨论的基本问题是两类曲线积分与两类曲面积分,重点是曲线积分与路径无关的问题以及Green(格林)公式与Gauss(高斯)公式.,一、对弧长的曲线积分的定义,二、对弧长的曲线积分的性质,三、对弧长的曲线积分的计算,四、对弧长的曲线积分的应用,线密度为连续函数z=f(x,y),利用分割作和、取极限的方法求该构件的质量.,一、对弧长的曲线积分的定义,定义1如果连续曲线y=f(x)上到处都有切线,当切点连续变动时,切线也连续转动,就称此曲线为光滑曲线.,设有一曲线形构件,它在xOy平面内是一条光滑曲线弧L,见图9-1.,图9-1,在L上取点M1,M2,Mn-1,把L分成n小段,在,上任意取一点(i,i),弧段,的长度为si,记,=maxs1,s2,sn,则该构件的质量为,图9-1,定义2设L为xOy平面内的一条光滑曲线,z=f(x,y)为L上的连续函数,用分点M1,M2,Mn-1,把L分成n小段,在,存在,则将此极限值称为函数f(x,y)在L上对弧长的曲线积分,记为,其中,f(x,y)称为被积函数,L称为积分弧段.,上任意取一点(i,i),si表示,的长度,记=maxs1,s2,sn,如果,定理1当f(x,y)在光滑曲线或分段光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分存在.,二、对弧长的曲线积分的性质,由对弧长的曲线积分的定义可知,定积分的所有性质都可以移植过来.,性质1设k为常数,则,设下面所涉及的对弧长的曲线积分都存在.,性质2,性质3将L分成L1与L2,则,其中L0表示L的长度,性质4,性质5f(x,y)g(x,y),则,性质6在L上若设mf(x)M,则,其中L0表示L的长度,性质7当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时,必有L上某点(,),使得,三、对弧长的曲线积分的计算,定理2设f(x,y)在曲线L上连续,L的参数方程为,(t),其中(t),(t)在,上具有一阶连续导数,且2(t)+2(t)0,则有公式(1)成立.,(1),设下面的函数和曲线都满足定理2的条件,则还有如下公式.积分上限要大于下限.,设L:y=y(x)(axb),则有,设L:r=r()(),则有,设L:x=x(y)(cyd),则有,设L:x=(t),y=(t),z=(t)(t),则有,定理3设f(x,y)和L满足定理2的条件,若f(x,y)=f(x,y),L关于轴对称,L1表示L的位于x轴上方的部分,则有,若f(x,y)=f(x,y),则,例1,L是整条星形线,解设L1:x=cos3t,y=sin3t,(0t/2),由定理3可知,于是,例2求,L为圆x2+y2=ax(a0).,解把L写成极坐标形式r=acos,-/2/2,利用公式(4),有,例3求,为螺旋线:x=acost,y=asint,z=bt,0t2.,解利用公式(5),有,为圆周:,解直接利用(5)完成,计算量很大,注意到,于是,例4求,原式,设在xOy平面内有一条分布着质量的光滑曲线弧(或分段光滑曲线弧)L,在点(x,y)处的线密度为连续函数f(x,y),利用微元分析法不难推得下面各计算公式.,四、对弧长的曲线积分的应用,质量,设重心为,则,转动惯量,如果曲线L是空间曲线,也可以得出类似的公式.,式中Ix,Iy,Io分别表示质量弧L对于x轴、y轴、原点的转动惯量.,下面给出第一型曲线积分的几何意义.,当f(x,y)0时,如果f(x,y)在平面曲线L上连续,L光滑或分段光滑,见图9-2,曲线积分,表示柱面的面积A,即,例5设有柱面,被平面z=y所截,求所截得有限部分的柱面面积.,解所求