（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 核心素养测评五 函数的奇偶性、对称性与周期性 新人教B版

核心素养测评五 函数的奇偶性、对称性与周期性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-,0)上单调性也相同的是()a.y=-1xb.y=log2|x|c.y=1-x2d.y=x3-1【解析】选c.函数y=-3|x|为偶函数,在(-,0)上为增函数,选项b的函数是偶函数,但其单调性不符合,只有选项c符合要求.【变式备选】下列函数中,既是偶函数,又在(0,+)上单调递增的函数是()a.y=x13b.y=|x|+1c.y=-x2+1d.y=2-|x|【解析】选b.因为y=x13是奇函数,y=|x|+1,y=-x2+1,y=2-|x|均为偶函数,所以a错误;又因为y=-x2+1,y=2-|x|=12|x|在(0,+)上均为减函数,只有y=|x|+1在(0,+)上为增函数,所以c,d错误.2.已知函数f(x)=24x-a2x的图象关于原点对称,g(x)=ln (ex+1)-bx是偶函数,则logab=()a.1b.-1c.-12d.14【解析】选b.由题意得f(0)=0,所以a=2.因为g(1)=g(-1),所以ln (e+1)-b=ln 1e+1+b,所以b=12,所以log212=-1.3.x为实数,x表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-x在r上为()a.奇函数b.偶函数c.增函数d.周期函数【解析】选d.函数f(x)=x-x在r上的图象如图:所以f(x)在r上是周期为1的函数.4.已知f(x)是定义在r上的奇函数,当x0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)f(a),则实数a的取值范围是()a.(-,-1)(2,+)b.(-1,2)c.(-2,1)d.(-,-2)(1,+)【解析】选c.因为f(x)是奇函数,所以当xf(a),得2-a2a,解得-2a0时,f(x)=x2-x,则当x0时,f(x)=x2-x,则当x0的解集为_.【解析】根据题意,因为f(x)是定义在r上的偶函数,且在区间(-,0上为增函数,所以函数f(x)在0,+)上为减函数,由f(3)=0,则不等式f(1-2x)0f(1-2x)f(3)|1-2x|3,解得-1x0,0,x=0,x2+mx,x0是奇函数.(1)求实数m的值.(2)若函数f(x)在区间-1,a-2上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)设x0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).于是x-1,a-21,所以1a3,故实数a的取值范围是(1,3.10.设函数f(x)是定义在r上的奇函数,对任意实数x都有f32+x=-f32-x成立.(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期.(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.(3)若g(x)=x2+ax+3,且y=|f(x)|g(x)是偶函数,求实数a的值.【解析】(1)由f32+x=-f32-x,且f(-x)=-f(x),知f(3+x)=f32+32+x=-f32-32+x=-f(-x)=f(x),所以y=f(x)是周期函数,且t=3是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在r上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-1)=-f(1)=-2,又t=3是y=f(x)的一个周期,所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.(3)因为y=|f(x)|g(x)是偶函数,且|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以|f(x)|为偶函数.故g(x)=x2+ax+3为偶函数,即g(-x)=g(x)恒成立,于是(-x)2+a(-x)+3=x2+ax+3恒成立.于是2ax=0恒成立,所以a=0.(15分钟35分)1.(5分)(2020佛山模拟)若函数f(x)=x2+x,x0x2-ax,xf(2a)f(0)b.f(a)f(0)f(2a)c.f(2a)f(a)f(0)d.f(2a)f(0)f(a)【解析】选c.因为函数f(x)=x2+x,x0x2-ax,xf(a)f(0).【变式备选】设函数f(x)和g(x)分别是r上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是()a.f(x)+|g(x)|是偶函数b.f(x)-|g(x)|是奇函数c.|f(x)|+g(x)是偶函数d.|f(x)|-g(x)是奇函数【解析】选a.由g(x)是奇函数,可得g(-x)=-g(x),所以|g(x)|=|g(-x)|,即|g(x)|为偶函数,又f(x)为偶函数,所以f(x)+|g(x)|为偶函数.2.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()a.奇函数,且在(0,1)内是增函数b.奇函数,且在(0,1)内是减函数c.偶函数,且在(0,1)内是增函数d.偶函数,且在(0,1)内是减函数【解析】选a.易知f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),则y=f(x)为奇函数,又y=ln(1+x)与y=-ln(1-x)在(0,1)上是增函数,所以f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)在(0,1)上是增函数.3.(5分)(2020海口模拟)设函数f(x)=x1+|x|,则使得f(x)f(2x-1)成立的x的取值范围是_.【解析】因为f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,且x0时,f(x)=x1+x=1-11+x,故f(x)单调递增,又f(0)=0,从而f(x)是r上的增函数,故f(x)f(2x-1)等价于x2x-1,解得x1.答案:(-,1)【变式备选】设定义在-2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减,若f(1-m)f(m),则实数m的取值范围是_.【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以f(1-m)f(m)等价于f(|1-m|)|m|,-21-m2,-2m2.解得-1m12.答案:-1,124.(10分)已知函数f(x)=2|x-2|+ax(xr)有最小值.(1)求实数a的取值范围.(2)设g(x)为定义在r上的奇函数,且当x0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.【解析】(1)f(x)=(a+2)x-4,x2,(a-2)x+4,x0,则-x0,0,x=0,(a-2)x+4,x0.5.(10分)设f(x)是(-,+)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0x1时,f(x)=x.(1)求f()的值.(2)当-4x4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f()=f(-14+)=f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f(x-1)+2=-f(x-1)=f-(x-1),即f(1+x)=f(1-x).故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0x1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.当-4x4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为s,则s=4soab=41221=4.1.(2020重庆模拟)已知f(x)是定义在r上的奇函数,且满足f(1-x)=f(1+x),当x0,1时,f(x)=log2(x+1),则f(2 019)=()a.1b.-1c.0d.log23【解析】选b.因为奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),所以f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的函数,因为当x0,1时,f(x)=log2(x+1),所以f(2 019)=f(5054-1)=f(-1)=-f(1)=-log22=-1.2.设函数f(x)是定义在r上的偶函数,且对任意的xr恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x0,1时,f(x)=2x,则有2是函数f(x)的周期;函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;函数f(x)的最大值是1,最小值是0.其中所有正确命题的序号是_.【解析】在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t,则有f(t+2)=f(t),因此2是函数f(x)的周期,故正确;当x0,1时