初二升初三数学暑假复习

一、整式的运算1、幂的运算（重点）（1）同底数幂相乘，底数_，指数_（2）同底数幂相除，底数_，指数_。（3）幂的乘方，底数_，指数_。（4）积的乘方，等于把积中的每一个因式_，然后把所得的幂_。2、单项式、多项式的乘法（重点、难点）（5）单项式相乘，_、_分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则_。（6）单项式乘以多项式，就是用这个单项式_，然后把所得的积_。（7）多项式相乘，就是_，然后把所得的积相加.（8）平方差公式：_.（9）完全平方公式：_。3、整式的除法（10）单项式相除，就是_。（11）多项式除以单项式，就是用这个多项式的每一项除以这个_，然后把所得的商相加。【典型例题】考点一：同底数幂的运算例1、若2x=3，4y=5，则2x2y的值为（ ）A. B. 2 C. D. 考点二：积的乘方、单项式、多项式的乘法例2、计算的结果是（ ） A. B. C. D. 例3、下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 例4、用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第个图案中正三角形的个数为（用含的代数式表示）_个. 例5、已知：，化简的结果是. 考点三：平方差公式、完全平方公式例6、已知，则=_.例7、先化简，再求值：代数式，其中. 【模拟试题】一、选择题1. 多项式的项数、次数分别是（ ）A. 3、4 B. 4、4 C. 3、3 D. 4、32. 下列各式计算正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 等于（ ）A. B. C. D. 4. 下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（ ）A.（1+x）（x+1） B. C.（a+b）（ab） D. 5. 下列各式计算结果与相同的是（ ）A. B. C. D. 6. 若，则、的值分别为（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，7. 一个长方体的长、宽、高分别是、，它的体积等于（ ）A. B. C. D. 8. 一个三项式与一个二项式相乘，在合并同类项之前，积的项数是（ ）A. 三项 B. 四项 C. 五项 D. 六项9. 与的关系是（ ）A. 相等 B. 互为相反数 C. 前式是后式的倍 D. 前式是后式的倍10. 下列各式的计算中不正确的个数是（ ）（1） （2）（3）（0.1）0=8 （4）（10）4（=1A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个二、沉着冷静耐心填11. 单项式的系数是 ，次数是 . 12. .13. 若A=，则 . 14. .15. . 16. 若，则 .17. 要使的展开式中不含项，则 .18. 若，则 .三、神机妙算用心做19. 当x=3时，代数式的值为6，试求当x=3时， 的值. 二、二元一次方程组与一次函数【典型例题】例1. A、B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A、B两地出发，相向而行，假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数，1小时后乙离A地80千米，2小时后甲距离A地30千米，经过多长时间两人将相遇？例2. 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过规定的质量则需要购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（千克）的一次函数。现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元。（1）求y与x之间的函数关系式；（2）乘客最多可以免费携带多少千克的行李？、【模拟试题】一、填空题1、写出一个二元一次方程，使和是它的两个解，这个二元一次方程可写为 2、一场足球赛共赛15轮，每队均赛15场，胜一场记2分，平一场记1分，输一场记0分某中学足球队所胜场数是所负场数的3倍，结果共得19分，则这个足球队共平_场3、若都是方程axby10的解，则a_，b_4、近年来，国家为了加快贫困地区教育事业的发展步伐，进一步解决贫困地区学生上学难的问题，实行了“两免一补”政策，收到了良好效果某地在校中小学生比原来增加了4217名，其中在校小学生增加了10%，在校初中生增加了23%，现在校中小学生共有32191名则该地原来在校中学生有_人，小学生有_人二、选择题1、已知方程3xy70，2x3y1，ykx9有公共解，则k的值为（ ）A. 3 B. 4 C. D. 2、如果两个单项式3x2aby2与x3aby5a8b的和仍是单项式，那么这两个单项式之和是（ ）A. x5y2B. x10y4C. x10y4D. x5y23、如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y2x的图象相交于点B，能表示这个一次函数图象的方程是（）A. 2xy30B. xy30C. 2yx30D. xy304、古代有这样一个寓言故事，驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干嘛？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮货物的袋数是（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 三、解答题1、已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值2、直线a与直线y2x1的交点的横坐标为2，与直线yx2的交点的纵坐标为1，求直线a对应的函数解析式3、某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台，改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10%，乙种机器产量要比第一季度增产20%该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？四、某水果批发市场香蕉的价格如下表：购买香蕉数（千克）不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上每千克价格6元5元4元张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？ 三、不等式【典型例题】不等式的性质及运用例1、下列四个命题中，正确的有（ ） 若ab，则a+1b+1；若ab，则a1b1； 若ab，则2ab，则2ax2，并将其解集表示在数轴上例3、解不等式组，并在数轴上表示解集. 会列不等式（组）解应用题例4、将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果求这一箱苹果的个数与小朋友的人数解：例5、为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人求这个中学共选派值勤学生多少人？共在多少个交通路口安排值勤？ 解：例6、内江市对城区沿江两岸的部分路段进行绿化工程建设，整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完成从两个公司的业务资料看到：若两个公司合做，则恰好用12天完成；若甲、乙合做9天后，由甲再单独做5天也恰好完成如果每天需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为1.2万元和0.7万元（1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？（2）要使整个工程费用不超过22.5万元，则乙公司最少应施工多少天？解：例7、华溪学校科技夏令营的学生在3名老师的带领下，准备赴北京大学参观，体验大学生活现有两个旅行社前来承包，报价均为每人2000元，他们都表示优惠；希望旅行社表示带队老师免费，学生按8折收费；青春旅行社表示师生一律按7折收费经核算，参加两家旅行社费用正好相等（1）该校参加科技夏令营的学生共有多少人？ （2）如果又增加了部分学生，学校应选择哪家旅行社？解：例8、我市某乡A、B两村盛产柑桔，A村有柑桔200吨，B村有柑桔300吨现将这些柑桔运到C、D两个冷藏室，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，A、B两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为yA元和yB元 （1）请填写下表，并求出yA、yB与x之间的函数关系式：CD总计Ax吨200吨B300吨总计240吨260吨500吨 （2）试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少； （3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑桔运费不得超过4830元在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值解：【模拟试题】一、认真选一选1. 已知ab0，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. abb2 B. a+cb+c C. bc2. 不等式2x1的解集是（ ） A. x1 B. x1 D. x1 B. 1x2 C. 1x2 D. x24. 下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（ ）5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）6. 不等式组的解集是（ ） A. 0x4 B. 3x4 C. 1x4 D. 2x87. 关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）A. 5a B. 5a C. 5a D. 5a8. 九年级的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元. 在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数（ ） A. 至多6人 B. 至少6人 C. 至多5人 D. 至少5人9. 现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ） A. 4辆 B. 5辆 C. 6辆 D. 7辆10. 在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共25道，每道题都给4个答案，其中只有一个答案正确，选对得4分，不选或选错倒扣2分，得分不低于60分得奖，那么要得奖至少应选对（ ）题 A. 18道 B. 19道 C. 20道 D. 21道11. 一种灭虫药粉30千克，含药率15%，现要用含药率较高的同种灭虫药粉50千克和它混合，使混合后的含药率大于20%而小于35%，则所用药粉的含药率x的范围是（ ） A. 15%x23% B. 15%x35% C. 23%x47% D. 23%x50%12. 某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x公顷，根据题意，下列方程正确的是（ ）二、细心填一填13. 不等式组的整数解是_. 14. 一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余3件；若前面每人分5件，则最后一人得到的玩具不足3件. 则小朋友的人数为_人. 15. 求不等式+2y+8所有正整数解的和 .三、耐心做一做16. 解下列不等式组（1） （2）17. 九年级（3）班学生到学校阅览室上课外阅读课，班长问老师要分成几个小组，老师风趣地说：假如我把43本书分给各小组，若每组8本，还有剩余；若每组分9本，却不够，你知道该分几个组吗？（请你帮助班长分组，注意写出解题过程，不能仅有分组的结果哟!）18. 由于电力紧张，某地决定对工厂实行错峰用电. 规定：在每天的7：00到24：00为用电高峰期，电价为a元/kWh；每天0：00到7：00为用电平稳期，电价为b元/kWh；下表为某厂4月和5月两个月的用电量和电费的情况统计表：月份用电量（万kWh）电费（万元）4126.45168.8 （1）若4月份在平稳期的用电量占当月用电量的，5月份在平稳期的用电量占当月用电量的，求a，b的值. （2）若6月份该厂预计用电20万kWh，为将电费控制在10万元至10.6万元之间（不含10万元和10.6万元），那么6月份在平稳期的用电量占当月用电量的比例应控制在什么范围？19. 某学校要印刷一批完全材料，甲印务公司提出制版费900元，另外每份材料收印刷费0. 5元；乙印务公司提出不收制版费，每份材料收印刷费0. 8元. （1）分别写出两家印务公司的收费y（元）与印刷材料的份数x（份）之间的函数关系式. （2）若学校预计要印刷5000份以内的宣传材料，请问学校应选择哪一家印务公司更合算？ 四、等腰三角形1. 等腰三角形的性质与判定（1）性质定理：等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）如图，在ABC中，AB=AC，B=C. （2）定理的推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）如图，在ABC中， AB=AC，ADBC，BAD=CAD，BD=CD。BAD=CAD，ADBC，BD=CD。 BD=CD，BAD=CAD，ADBC。2. 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）如图，在ABC中，B=C ，AB=AC。3. 等边三角形的性质与判定（1）性质定理： 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60。 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。如图，在RtABC中，A=30，。（2）等边三角形的判定定理：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。三个角都相等的三角形是等边三角形。【典型例题】例1. 求证：等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。图（1） 图（2） 图（3）例2. 已知：如图，ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD. 求证：DB=DE例3. 已知：如图，在ABC中，平分。求证：图评析：对于一条线段等于其他两条线段的和（或差）类型的证明题，基本的方法一般有两种：延长或截取，从而转化成证明线段相等的问题。练习：如图RtABC中，平分，求证：.。【模拟试题】一、选择题1. ABC中，AB=AC，BD平分ABC交AC边于D点，BDC=75，A为（ ）A. 35 B. 40 C. 70 D. 1102. 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ）A. 75或15 B. 30或60 C. 75 D. 303. 如图，ABC中，AB=AC，A=36，CD、BE是ABC的角平分线，CD、BE相交于点O，则图中等腰三角形有（ ）A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个4. 一个等腰三角形底边的长为5，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3 ，则腰长为（ ）A. 2 B. 8 C. 2或8 D. 105. 三角形的三个内角中，锐角的个数不少于 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 不确定 6. 等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为 （ ） A. 17 B. 22 C. 13 D. 17或22二、填空题7. 等腰三角形的顶角为30，腰长为16cm，则它腰上的高是_cm，面积是_cm2。8. 已知：直角三角形ABC中，C=90，斜边AB=24cm，A=，则直角边AC=_cm，斜边上的高是_cm。9. 等腰三角形一腰上的中线把周长分成15和12两部分，则它的底边长是 三、解答题10. 求证有两边上的高相等的三角形是等腰三角形。11. 已知，如图，O是ABC的ABC、ACB的角平分线的交点，ODAB交BC于D，OEAC交BC于E，若BC = 10 cm，求ODE的周长。13. 已知，如图，AB=AC，A=108，BD平分ABC交AC于D. 求证：BC=AB+CD. 五、直角三角形 图 图 图1. 直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。（2）勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方。（3）直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。如图，RtABC中，。逆命题成立：如图，RtABC中，。（4）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。如图， RtABC中，2. 直角三角形的判定（1）定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形。（2）有两个锐角互余的三角形是直角三角形。（3）如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。3. 直角三角形全等的判定定理：（1）有两条边对应相等的两个直角三角形全等。两条直角边对应相等；斜边和一条直角边对应相等（HL）【典型例题】例1. 求证：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。 图 图 例2. ABC中，AB=13cm ，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm。求证：AB=AC。例3. 已知：如图，E为AB上的一点。求证：CE=DE .例4. 已知：如图，ABC中，高AD和BE相交于点H，。求证：BH=AC.【模拟试题】一、选择题1. 下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是A. 两条直角边对应相等B. 有两条边对应相等C. 一条边和一个锐角对应相等D. 一条边和一个角对应相等2. 以下面各组数为边的三角形中，不是直角三角形的是 （ ）A. 1，1，2 B. 5，12，13，C. 6，8，10， D. 9，12，153. 等边三角形的边长为2，则它的面积是（ ）A. 2 B. 4 C. D. 4. 已知：如图，CEAB，DFAB，垂足分别为E , F , AF=BE , 且AC=BD , 则不正确的结论是（ ）A. RtAECRtBFD B. C+B=90C. A=D D. ACBD. 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A. 如果x0，那么0 B. 全等三角形的面积相等C. 内错角相等，两直线平行 D. 对顶角相等二、填空题6. 在RtABC中，C=90，A=30，则abc=_7. 一个三角形三个内角之比为112，则这个三角形的三边比为_8. 如图，在RtABC和RtDCB中，AB=DC，A=D=90，AC与BD交于点O，则有_， 其判定依据是_，还有_，其判定依据是_9. 已知：如图，BE，CF为ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=_10. 有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=5cm，BC=10cm，将ABC折叠，点B与点A重合，则DC的长=_三、解答题11. 已知：如图 , E, B, F, C四点在同一直线上, A=D=90 , BE=FC, AB=DF求证：E=C12. 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？13. 如图，已知等腰RtAOB中，AOB=90，等腰RtEOF中，EOF=90，连接AE、BF求证：（1）AE=BF；（2）AEBF 六线段的垂直平分线1. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。如图，点在直线上，2. 线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。，点在线段AB的垂直平分线上。判断正误：“若，那么经过点的直线就是线段AB的垂直平分线。”3. 三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。如图，ABC中，边AB和BC的垂直平分线MN和GH相交于点P，根据线段垂直平分线的性质定理则有PA=PB=PC，根据线段垂直平分线的判定定理，点在线段AC的垂直平分线上，因此，ABC三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。【典型例题】例1. 如图所示，已知ABAC，A40，AB的垂直平分线交AC于点D。求DBC的度数例2. 已知：如图所示，在RtABC中，过直角边AC上的一点P作直线交AB于点M，交BC的延长线于点N，且APMA求证：点M在BN的垂直平分线上例3. 如图，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N求证：CM=2BM 例4. 如图，河的同侧有A、B两个村庄，要在河边修一扬水站向两个村庄铺设管道供水，若铺设的管道最短，扬水站应建在哪个位置？说明理由。练习： 如图，正方形ABCD的边长为4，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点，点E是BC边的中点，当点P运动到AC上的什么位置时，PB+PE的值最小？最小值是多少？【模拟试题】一、选择题1. 如左下图，AC=AD，BC=BD，则（ ）A、CD垂直平分AB B、AB垂直平分CD C、CD平分ACB D、以上结论均不对2. 如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是 ( )A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形3. 如图，ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么DBC的周长是 ( )A、6 cmB、7 cmC、8 cmD、9 cm4. 三角形三边垂直平分线的交点的位置一定在（ ）A、三角形内部 B、三角形外部 C、三角形的一条边上 D、三种情况都有可能二、填空题5. 三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_6. 如图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD_DC，点D在_的垂直平分线上7. 如图，在ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，ABD的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BD+DC=_cm；ABC的周长是_cm. 8. 如图，BAC=120，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则ADB=_度三、解答题9. 已知：如图所示，ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线求证：ADE是等边三角形 10已知：如图所示，ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CECD求证：点D在线段BE的垂直平分线上 七、角的平分线1. 角的平分线定义：在角的内部，从角的顶点引出的一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线。2. 角的平分线作图：如图（1），射线OC就是AOB的角平分线。 图（1） 图（2）3. 角的平分线定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。如图（2），AOC