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文档简介

2化二次型为标准形 用正交变换法化二次型为标准形 一化二次型为标准形的原因 问题 如何把二次型f xTAx化为标准形 4 将二次型化为标准形 即 对于二次型寻求一个可逆的线性替换 二化二次型为标准形 变量替换 4 式变为x Cy 代入f xTAx 可得 思路 由此可知 若能找到C使得CTAC D为对角阵 则标准形可得 这样就把二次型化标准形问题转化为对称阵合同对角阵问题 两种方法 1 正交变换法 2 配方法 对于给定的实对称矩阵A 寻求可逆矩阵C 使CTAC成为对角阵 把此结论用于二次型 即有 对给定的n阶实对称矩阵A 必存在n阶正交矩阵P 使得 方法1正交变换法 3 求A的n个标准正交的特征向量 4 求正交矩阵P 正交变换法的基本步骤 1 写出二次型的矩阵A 5 作正交变换 x Py 则 例用正交变换法将二次型 化成标准形 并求正交变换矩阵 解 二次型f的矩阵为 1 求A的特征值 得A的特征值 2 求3个标准正交的特征向量 解方程组 0 可得 解方程组 0 可得 施行施密特正交单位化 得到 将其单位化 得到 3 求正交变换矩阵P 令 于是 4 作正交变换x Py 则 将实二次型f x xTAx化为标准形后 不妨设正平方项在前 负平方项在后 即 d1y12 dpyp2 dp 1yp 12 dryr2 得f x xTAx的规范形为 z12 zp2 zp 12 zr2 三化标准形为规范形 di 0 i 1 2 r 例 解 注 利用正交变换化成标准形 进而化成规范形 则 系数中 1 的个数 负特征值的个数 负惯性指数 系数中 1 的个数 正特征值的个数 正惯性指数 问题 标准形不唯一 规范形唯一吗 答案 标准形不唯一 但是正平方项的个数 正惯性指
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