【名师一号】高三数学二轮复习 1-1-2基本初等函数的图象与性质课件 理 人教版

第一部分高考专题讲解 专题一集合 函数与导数 第二讲基本初等函数的图象与性质 函数及其基本性质是函数内容的主体部分 是高考考查的重点 其中定义域 单调性 奇偶性 周期性等几乎是每年必考 常常是将这些知识点与集合 不等式 方程 函数图象等知识交汇融合 以选择题或填空题的形式进行考查 对于函数定义域 还常常隐性地进行考查 因为研究函数的性质以及其他问题时 必须首先研究函数的定义域 函数的单调性 奇偶性 周期性经常融合为一体 在研究参数的范围问题 求值问题中进行考查 1 求函数的定义域主要考虑以下几点 分母不能为0 偶次根号下的式子不小于0 对数的真数大于0 底数大于0且不等于1 a0中a不等于0 注意实际问题中变量的范围等 2 函数的单调性是函数性质中最活跃的性质 它的运用主要体现在不等式方面 如比较大小 解抽象函数不等式等 判断函数的单调性的主要方法 研究函数的单调性应结合函数的单调区间 单调区间应是定义域的子集 1 定义法 即作差法 主要步骤为 取值 作差 变形 判符号 下结论 2 图象法 3 单调性的运算性质 实质上是不等式的性质 4 复合函数的单调性判断法则 5 导数法 3 判断一个函数的奇偶性时 要注意函数的定义域是否关于原点对称 若定义域关于原点不对称 那么该函数一定不具有奇偶性 若奇函数y f x 在x 0处有定义 则f 0 0 灵活使用这一结论可以简化运算过程 若函数f x 是偶函数 则f x f x 利用这个性质 可以避免一些分类讨论 有利于灵活利用函数的单调性 4 解决与分段函数有关的问题 最重要的就是掌握逻辑划分思想 即将问题分段解决 还要熟练掌握研究分段函数性质 奇偶性 单调性等 的一般方法 解决与抽象函数有关的问题时 最重要的是掌握赋值法 并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型 帮助探求结论 找到解题的思路和方法 5 函数的周期性的定义及常用结论一般地 对于函数f x 如果对于定义域中的任意一个x的值 若f x T f x T 0 则f x 是周期函数 T是它的一个周期 若f x a f x b a b 则f x 是周期函数 b a 是它的一个周期 若f x a f x a 0 则f x 是周期函数 2a是它的一个周期 7 对称性与周期性之间的关系周期性与对称性是相互联系 紧密相关的 一般地 若f x 的图象有两条对称轴x a和x b a b 则f x 必为周期函数 且2 b a 是它的一个周期 若f x 的图象有两个对称中心 a 0 和 b 0 a b 则f x 必为周期函数 且2 b a 是它的一个周期 若f x 的图象有一条对称轴x a和一个对称中心 b 0 a b 则f x 为周期函数 且4 b a 是它的一个周期 A m 1 n 1B m 1 n 2C m 2 n 1D m 3 n 1 解析 由于本题是选择题 可以用代入法来做 由图得 原函数的极大值点小于0 5 答案 B 解析 若 0 则f 2 4 2 若 0 则f 4 4 答案 B 答案 1 答案 C 点评 证明函数的单调性务必回到定义 因为定义揭示了概念的本质 其关键是对f x1 f x2 的表达式进行合理地变形 以有利于判断出其符号 常用的变形方法有 因式分解法 配方法 分子分母有理化等 解析 由已知 得f 1 log22 1 f 0 0 故f 1 f 0 f 1 1 f 2 f 1 f 0 1 f 3 f 2 f 1 1 1 0 f 4 f 3 f 2 0 1 1 f 5 f 4 f 3 1 f 6 f 5 f 4 0 故当x 1 2 3 4 时 f x 的取值依次是 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 即当x取整数时 数列 f x 是以6为周期的周期数列 故f 2009 f 5 1 故选C 答案 C 点评 本题会由于计算不到位 找不到函数取值的规律 这样就不能通过归纳得出函数的周期 因此 考场上要耐心计算 细心观察 不断归纳 对于解题来说是非常重要的 这也是命题者要考查考生心理素质的一个方面 其中正确判断的序号是 把你认为正确判断的序号都填上 解析 f x 2 f x 1 f x 故f x 是周期函数 2是它的一个周期 对 又f x 为偶函数 对 f x 在 1 0 上是增函数 则在 0 1 上是减函数 错 答案 解析 令x y 0 f 0 0 令x y 1 f 2 2f 1 2 6 令x 2 y 1 f 3 f 2 f 1 4 12 再令x 3 y 3 f 0 f 3 3 f 3 f 3 18 0 f 3 18 f 3 6 答案 6 点评 本题的难点在于抽象函数的性质是用两个变量表达的 这类问题的化解方法一般是根据所给抽象函数的性质 通过观察其特殊性先求出一个特殊值 这往往就是解题的突破口 本题根据特殊值求出f 0 后 令y x就得到了一个关系式f 0 f x f x 2x2 只要能求出f x 就能求出f x 因此可以把问题归结为求f 3 的值 而在函数性质中只要令y 1就得到了函数之间的关系式f x 1 f x f 1 2x 根据f 1 的值不难求出f 3 的值 问题的难点就化解了 因此解决抽象函数问题利用特殊值是一个重要方法 解析 2 1 1 f 3 f 3 f 9 由f x f x 8 2 可得f x x 8 f 9 因为f x 是定义在 0 上的增函数 所以有x 0且x 8 0且x x 8 9 解得8 x 9 故选B 答案 B 点评 本题的难点是必须把f x f x 8 2中的函数记号去掉 转化为一般的代数不等式 化解这个难点就要根据f xy f x f y f 3 1和函数的单调性进行转换 解决抽象函数问题要善于类比 本题就可以类比对数函数的性质寻找解决问题的方法 实际上本题就是以对数函数为特征抽象出来的一个问题 怎样利用周期法解题有些数学问题 表面上看与周期毫无关系 但实际上隐含着周期性 一旦提示了周期 问题便迎刃而解 下面举例说明如下 例1 设f x 是 上的奇函数 f x 2 f x 当0 x 1时 f x x 则f 7 5 等于 A 0 5B 0 5C 1 5D 1 5 解析 f x 2 f x 所以f x 4 f x 2 f x f x 是以4为一个周期的函数 由于f x 是奇函数 且0 x 1时 f x x 可得f 7 5 f 2 4 0 5 f 0 5 f 0 5 0 5 故选B 答案 B 例2 设对任意整数x f x f x 1 f x 1 且f 0 19 f 4 93 则f 59 解析 f x f x 1 f x 1 f x 1 f x f x 2 两式相加并整理得f x 1 f x 2 f x f x 3 f x 6 f x 3 f x 从而f x 是以6为周期的函数 f 59 f 6 9 5 f 5 f 4 f 6 f 4 f 0 112 答案 112 例3 函数f x 在R上有定义 且满足 1 f x 是偶函数 且f 0 993 2 g x f x 1 是奇函数 试求f 1992 的值 解 f x 是偶函数 所以f x f x 又g x f x 1 是奇函数 f x 1 f x 1 即f x f x 2 代入 得f x f x 2 f x 2 f x 从而f x 4 f x 2 f x f x 是以4为周期的函数 f 1992 f 4 498 f 0 993 答案 D 2 2011 安徽 设f x