资阳市2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2015年四川省资阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知圆 C：（ x 2） 2+（ y+1） 2=4，则圆 C 的圆心和半径分别为（ ） A（ 2， 1）， 4 B（ 2， 1）， 2 C（ 2， 1）， 2 D（ 2， 1）， 2 2当 m N*，命题 “若 m 0，则方程 x2+x m=0 有实根 ”的逆否命题是（ ） A若方程 x2+x m=0 有实根，则 m 0 B若方程 x2+x m=0 有实根，则 m 0 C若方程 x2+x m=0 没有实根，则 m 0 D若方程 x2+x m=0 没有实根，则 m 0 3已知命题 p： x 0， 0，那么 p 是（ ） A x 0， 0 B C x 0， 0 D 4已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 8 B 4 C 2 D 5已知变量 x 与 y 正相关，且 由观测数据算得样本平均数 =3， =由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ） A = =2x = 2x+ = 在区间 0， 3上随机地取一个实数 x，则事件 “1 2x 1 3”发生的概率为（ ） A B C D 7如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”执行该程序框图，若输入 a， b 分别为 6， 4，则输出 a 的值为（ ） 第 2 页（共 18 页） A 0 B 2 C 4 D 6 8在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为 甲 、 乙 ，则下列判断正确的是（ ） A 甲 乙 ，甲比乙成绩稳定 B 甲 乙，甲比乙成绩稳定 C 甲 乙 ，乙比甲成绩稳定 D 甲 乙 ，乙比甲成绩稳定 9设 m， n 是空间两条直线， ， 是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（ ） A当 n 时， “n ”是 “ ”成立的充要条件 B当 m 时， “m ”是 “ ”的充分不必要条件 C当 m 时， “n ”是 “m n”必要不充分条件 D当 m 时， “n ”是 “m n”的充分不必要条件 10如图，三棱锥 A ， C=D=3， C=2，点 M， N 分别是 异面直线 成的角的余弦值为（ ） A B C D 11已知命题 p：函数 f（ x） =2 在 2， +）上单调递增；命题 q：关于 x 的不等式 （ m 2） x+1 0 对任意 x R 恒成立若 p q 为真命题， p q 为假命题，则实数m 的取值范围为（ ） A（ 1， 4） B 2， 4 C（ ， 1 （ 2， 4） D（ ， 1） （ 2， 4） 12如图，在棱长为 1 的正方体 ，给出以下结论： 直线 成的角为 60； 若 M 是线段 的动点，则直线 平面 成角的正弦值的取值范围是； 若 P， Q 是线段 的动点，且 ，则四面体 体积恒为 第 3 页（共 18 页） 其中，正确结论的个数是（ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13根据如图所示的算法语句，当输入的 x 为 50 时，输出的 y 的值为 14某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为 15袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 16若直线 y=x+b 与曲线 y=3 有两个公共点，则 b 的取值范围是 三、解答题：本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知命题 p： 8x 20 0，命题 q： x（ 1+m） x（ 1 m） 0（ m 0），若p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 18已知圆 C 过点 A（ 1， 4）， B（ 3， 2），且圆心在 x 轴上，求圆 C 的方程 19如图，在三棱柱 ，侧棱 底面 面 边三角形， E，F 分别是 中点 求证： （ ） 平面 （ ） 平面 平面 第 4 页（共 18 页） 20某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了 20 名学生的成绩进行分析，如图是这 20 名学生竞赛成绩（单位：分）的频率分布直方图，其分组为 100， 110）， 110，120）， ， 130， 140）， 140， 150 （ ） 求图中 a 的值及成绩分别落在 100， 110）与 110， 120）中的学生人数； （ ） 学校决定从成绩在 100， 120）的学生中任选 2 名进行座谈，求此 2 人的成绩都在 110，120）中的概率 21如图 1，在直角梯形 ， ， C=1， ， E 是 O 是 交点将 起到图 2 中 位置，得到四棱锥 （ ） 证明： 平面 （ ） 若平面 平面 平面 平面 角（锐角）的余弦值 22已知圆 C： 1+a） x+ay+a=0（ a R） （ ） 若 a=1，求直线 y=x 被圆 C 所截得的弦长； （ ） 若 a 1，如图，圆 C 与 x 轴相交于两点 M， N（点 M 在点 N 的左侧）过点 M 的动直线 l 与圆 O： x2+ 相交于 A， B 两点问：是否存在实数 a，使得对任意的直线 l 均有 存在，求出实数 a 的值，若不存在，请说明理由 第 5 页（共 18 页） 2015年四川省资阳市高二（上 ）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知圆 C：（ x 2） 2+（ y+1） 2=4，则圆 C 的圆心和半径分别为（ ） A（ 2， 1）， 4 B（ 2， 1）， 2 C（ 2， 1）， 2 D（ 2， 1）， 2 【考点】 圆的标准方程 【分析】 利用圆的标准方程，直接写出圆心与半径即可 【解答】 解：圆 C：（ x 2） 2+（ y+1） 2=4，则圆 C 的圆心和半径分别为：（ 2， 1）， 2 故选： B 2当 m N*，命题 “若 m 0，则方程 x2+x m=0 有实根 ”的逆否命题是（ ） A若方程 x2+x m=0 有实根，则 m 0 B若方程 x2+x m=0 有实根，则 m 0 C若方程 x2+x m=0 没有实根，则 m 0 D若方程 x2+x m=0 没有实根，则 m 0 【考点】 四种命题间的逆否关系 【分析】 直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可 【解答】 解：由逆否命题的定义可知：当 m N*，命题 “若 m 0，则方程 x2+x m=0 有实根 ”的逆否命题是：若方程 x2+x m=0 没有实根，则 m 0 故选： D 3已知命题 p： x 0， 0，那么 p 是（ ） A x 0， 0 B C x 0， 0 D 【考点】 命题的否定 【分析】 利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可 【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 p： x 0， 0，那么 p 是 故选： D 4已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何 体的体积为（ ） 第 6 页（共 18 页） A 8 B 4 C 2 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 首先将几何体还原，然后求体积 【解答】 解：由已知得到几何体是底面直径为 2，高为 2 的圆柱，所以其体积为 12 2=2； 故选 C 5已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 =3， =由该观测数据算得的线性回归方程可能 是（ ） A = =2x = 2x+ = 考点】 线性回归方程 【分析】 变量 x 与 y 正相关，可以排除 C， D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程 【解答】 解： 变量 x 与 y 正相关， 可以排除 C， D； 样本平均 数 =3， =入 A 符合， B 不符合， 故选： A 6在区间 0， 3上随机地取一个实数 x，则事件 “1 2x 1 3”发生的概率为（ ） A B C D 【 考点】 几何概型 【分析】 首先求出事件 “1 2x 1 3”发生对应的区间长度，利用几何概型公式解答 【解答】 解：在区间 0， 3上随机地取一个实数 x，则事件 “1 2x 1 3”发生，即 1 x 2，区间长度为 1， 由几何概型公式得到事件 “1 2x 1 3”发生的概率为 ； 故选： B 7如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”执行该程序框图，若输入 a， b 分别为 6， 4，则输出 a 的值为（ ） 第 7 页（共 18 页） A 0 B 2 C 4 D 6 【考点】 程序框图 【分析】 由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的 a， b 的值，即可得到结论 【解答】 解：由 a=6， b=4， a b， 则 a 变为 6 4=2， 由 a b，则 b 变为 4 2=2， 由 a=b=2， 则输出的 a=2 故选： B 8在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为 甲 、 乙 ，则下列判断正确的是（ ） A 甲 乙 ，甲比乙成绩稳定 B 甲 乙，甲比乙成绩稳定 C 甲 乙 ，乙比甲成绩稳定 D 甲 乙 ，乙比甲成绩稳定 【考点】 众数、中位数、平均数 【分析】 由茎叶图知分别求出两组数据的平均数和方差，由此能求出结果 【解答】 解：由茎叶图知： = （ 76+77+88+90+94） =85， = （ 76 85） 2+（ 77 85） 2+（ 88 85） 2+（ 90 85） 2+（ 94 85） 2=52， = （ 75+86+88+88+93） =86， = （ 75 86） 2+（ 86 86） 2+（ 88 86） 2+（ 88 86） 2+（ 93 86） 2= 甲 乙 ，乙比甲成绩稳定 故选： C 9设 m， n 是空间两条直线， ， 是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（ ） A当 n 时， “n ”是 “ ”成立的充要条件 第 8 页（共 18 页） B当 m 时， “m ”是 “ ”的充分不必要条件 C当 m 时， “n ”是 “m n”必要不充分条件 D当 m 时， “n ”是 “m n”的充分不必要条件 【考点】 平面的基本性质及推论 【分析】 当 n 时， “n ”“ ”；当 m时， “m ”“ ”，但是 “ ”推不出 “m ”；当 m时， “n ”“m n 或 m 与 n 异面 ”， “m n”“n 或 n”；当 m 时，“n ”“m n”，但 “m n”推不出 “n ” 【解答】 解：当 n 时， “n ”“ ”，故 A 正确； 当 m 时， “m ”“ ”，但是 “ ”推不出 “m ”，故 B 正确； 当 m 时， “n ”“m n 或 m 与 n 异面 ”， “m n”“n 或 n”，故 C 不正确； 当 m 时， “n ”“m n”，但 “m n”推不出 “n ”，故 D 正确 故选 C 10如图，三棱锥 A ， C=D=3， C=2，点 M， N 分别是 异面直线 成的角的余弦值为（ ） A B C D 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 连结 中点 E，连结 导出异面直线 成角就是 解三角形，能求出结果 【解答】 解：连结 中点 E，连结 则 异面直线 成的角， ， = ， 又 = ， = = ， 异面直线 成的角的余弦值为 故选： A 第 9 页（共 18 页） 11已知命题 p：函数 f（ x） =2 在 2， +）上单调递增；命题 q：关于 x 的不等式 （ m 2） x+1 0 对任意 x R 恒成立若 p q 为真命题， p q 为假命题，则实数m 的取值范围为（ ） A（ 1， 4） B 2， 4 C（ ， 1 （ 2， 4） D（ ， 1） （ 2， 4） 【考点】 复合命题的真假 【分析】 根据二次函数的单调性，以及一元二次不等式的解的情况和判别式 的关系即可求出命题 p， q 为真命题时 m 的取值范围根据 p q 为真命题， p q 为假命题得到 p 真 q 假或 p 假 q 真，求出这两种情况下 m 的范围求并集即可 【解 答】 解：若命题 p 为真， 函数 f（ x）的对称轴为 x=m， m 2； 若命题 q 为真，当 m=0 时原不等式为 4x+1 0，该不等式的解集不为 R，即这种情况不存在； 当 m 0 时，则有 ， 解得 1 m 4； 又 P q 为真， P q 为假， P 与 q 一真一假； 若 P 真 q 假，则 ， 解得 m 1； 若 P 假 q 真，则 ，解得 2 m 4； 综上所述， m 的取值范围是 m 1 或 2 m 4 故选： C 12如图，在棱长为 1 的正方体 ，给出以下结论： 直线 成的角为 60； 若 M 是线段 的动点，则直线 平面 成角的正弦值的取值范围是； 若 P， Q 是线段 的动点，且 ，则四面体 体积恒为 其中，正确结论的个数是（ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 【考点】 命题的真假判断与应用 第 10 页（共 18 页） 【分析】 先证明 成角为 60，又 得直线 成的角为 60，判断 正确； 由平面 平面 合线面角的定义分别求出直线 平面 成角的正弦值最大值与最小值判断 正确； 在 化过程中，四面体 顶点 底面 距离不变，底面积不变，则体积不变，求出体积判断 正确 【解答】 解： 在 ，每条边都是 ，即为等边三角形， 成角为60， 又 直线 成的角为 60，正确； 如图，由正方体可得平面 平面 M 点位于 ，且使 平面 线 平面 成角的正弦值最大为 1， 当 M 与 合时，连接 平面 得斜线最长，直线 平面 成角的正弦值最小等于 ， 直线 平面 成角的正弦值的取值范围是 ， 1，正确； 连接 平面 距离为 h，则 h= ， 直线 距离为 ， 则四面体 体积 V= ，正确 正确的命题是 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13根据如图所示的算法语句，当输 入的 x 为 50 时，输出的 y 的值为 35 【考点】 伪代码 第 11 页（共 18 页） 【分析】 算法的功能是求 y= 的值，当输入 x=50 时，计算输出y 的值 【解答】 解：由算法语句知：算法的功能是求 y= 的值， 当输入 x=50 时， 输出 y=30+10=35 故答案为： 35 14某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该 年级学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为 25 【考点】 分层抽样方法 【分析】 根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数 【解答】 解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为 = ， 则应抽取的男生人数是 500 =25 人， 故答案为： 25 15袋中有形状、大小都相同 的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 根据题意，把 4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可 【解答】 解：根据题意，记白球为 A，红球为 B，黄球为 一次取出 2 只球，基本事件为 6 种， 其中 2 只球的颜色不同的是 5 种； 所以 所求的概率是 P= ， 故答案为： 16若直线 y=x+b 与曲线 y=3 有两个公共点，则 b 的取值范围是 1 2 b 1 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 曲线方程变形后，表示圆心为（ 2， 3），半径为 2 的下半圆，如图所示，根据直线y=x+b 与圆有 2 个公共点， 【解答】 解：曲线方 程变形为（ x 2） 2+（ y 3） 2=4，表示圆心 A 为（ 2， 3），半径为 2的下半圆，根据题意画出图形，如图所示， 当直线 y=x+b 过 B（ 4， 3）时，将 B 坐标代入直线方程得： 3=4+b，即 b= 1； 第 12 页（共 18 页） 当直线 y=x+b 与半圆相切时，圆心 A 到直线的距离 d=r，即 =2，即 b 1=2 （不合题意舍去）或 b 1= 2 ， 解得： b=1 2 ， 则直线与曲线有两个公共点时 b 的范围为 1 2 b 1 故答案为： 1 2 b 1 三、解答题：本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知命题 p： 8x 20 0，命题 q： x（ 1+m） x（ 1 m） 0（ m 0），若p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 p： 8x 20 0，得 2 x 10由于 p 是 q 的充分不必要条件，可得 2，101 m， 1+m即可得出 【解答】 解：由 p： 8x 20 0，得 2 x 10， p 是 q 的充分不必要条件， 2， 101 m， 1+m 则 ，或 ， 解得 m 9 故实数 m 的取值范围为 9， +） 18已知圆 C 过点 A（ 1， 4）， B（ 3， 2），且圆心在 x 轴上，求圆 C 的方程 【考点】 圆的标准方程 【分析】 法一：设圆 C：（ x a） 2+y2=用待定系数法能求出圆 C 的方程 法二：设圆 C： x2+x+F=0，利用待定系数法能求出圆 C 的方程 法三：由已知圆心 C 必在线段 垂直平分线 l 上， 中点为（ 2， 3），由此能求出圆心 C 的坐标和半径，从而能求出圆 C 的方程 【解答】 解法一：设圆 C：（ x a） 2+y2= 则 解得 所以圆 C 的方程为（ x+1） 2+0 解法二：设圆 C： x2+x+F=0， 第 13 页（共 18 页） 则 解得 所以圆 C 的方程为 x2+x 19=0 解法三：因为圆 C 过两点 A（ 1， 4）， B（ 3， 2），所以圆心 C 必在线段 垂直平分线 又因为 ，所以 ，又 中点为（ 2， 3）， 故 垂直平分线 l 的方程为 y 3=x 2，即 y=x+1 又圆心 C 在 x 轴上，所以圆心 C 的坐标为（ 1， 0）， 所以半径 ， 所以圆 C 的方程为（ x+1） 2+0 19如图，在三棱柱 ，侧棱 底面 面 边三角形， E，F 分别是 中点求证： （ ） 平面 （ ） 平面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）由三角形中位线定理得 此能证明 平面 （ ）由三棱柱 直三棱柱，得 正三角形性质得 此能证明平面 平面 【解答】 证明：（ ）因为 E， F 分别是 中点， 所以 又因为 面 面 所以 平面 （ ）因为三棱柱 直三棱柱， 所以 平面 面 所以 又因为 正三角形， E 为 中点， 所以 又 C=B，所以 平面 又 面 以平面 平面 第 14 页（共 18 页） 20某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了 20 名学生的成绩进行分析，如图是这 20 名学生竞赛成绩（单位：分）的频率分布直方图，其分组为 100， 110）， 110，120）， ， 130， 140）， 140， 150 （ ） 求图中 a 的值及成绩分别落在 100， 110）与 110， 120）中的学生人 数； （ ） 学校决定从成绩在 100， 120）的学生中任选 2 名进行座谈，求此 2 人的成绩都在 110，120）中的概率 【考点】 古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图 【分析】 （ ）根据频率分布直方图知组距为 10，由频率分布直方图中小矩形面积之和为 1，求出 a，由此能求出成绩分别落在 100， 110）与 110， 120）中的学生人数 （ ）记成绩落在 100， 110）中的 2 人为 绩落在 110， 120）中的 3 人为 2， 此利用列举法能求出此 2 人的成绩都在 110， 120）中的概率 【解答】 解：（ ）根据频率分布直方图知组距为 10， 由（ 2a+3a+7a+6a+2a） 10=1， 解得 ； 所以成绩落在 100， 110）中的人数为 2 10 20=2； 成绩落在 110， 120）中的人数为 3 10 20=3 （ ）记成绩落在 100， 110）中的 2 人为 成绩落在 110， 120）中的 3 人为 则从成绩在 100， 120）的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个： 其中 2 人的成绩都在 110， 120）中的基本事件有 3 个： 所以所求概率为 第 15 页（共 18 页） 21如图 1，在直角梯形 ， ， C=1， ， E 是 O 是 交点将 起到图 2 中 位置，得到四棱锥 （ ） 证明： 平面 （ ） 若平面 平面 平面 平面 角（锐角）的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）根据线面垂直的判定定理即可证明： 平面 （ ）若平面 平面 立空间坐标系，利用向量法即可求平面 平面角的余弦值 【解答】 证明：（ ）在图 1 中， C=1， ， E 是 中点， ， 即在图 2 中， 则 平面 平面 解：（ ）若平面 平面 由（ ）知 二面角 C 的平面角， ， 如图，建立空 间坐标系， 1E=D=1 B（ ， 0， 0）， E（ ， 0， 0）， 0， 0， ）， C（ 0， ， 0）， =（ ， ， 0）， =（ 0， ， ）