3.4 几何概型PPT演示课件

1 学点一 学点二 学点三 学点四 学点五 学点六 2 1 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为 简称为 2 在几何概型中 事件A的概率的计算公式如下 P A 3 均匀随机数均匀随机数就是在一定范围内 产生的数 并且得到这个范围内的每一个数的机会一样 几何概率模型 几何概型 随机 3 4 0 1 间随机数的产生在计算器中应用可连续产生 0 1 范围内的均匀随机数 不同的计算器具体操作过程可能会不同 5 随机模拟法的应用随机模拟法可用来求 特别是 的面积的近似值 或求 随机函数 某些特殊图形 不规则图形 某些量 如 的近似值 4 学点一与长度有关的几何概型的求法 分析 本题考查与长度有关的几何概型的求法 某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过 假设每一辆车带走站上的所有乘客 乘客到达汽车站的时间是任意的 求乘客候车时间不超过3分钟的概率 解析 这是一个几何概型问题 记A 候车时间不超过3分钟 以x表示乘客到车站的时刻 以t表示乘客到车站后来到的第一辆汽车的时刻 作图3 4 3 据题意 乘客必然在 t 5 t 内来到车站 故 x t 5 x t 5 若乘客候车时间不超过3分钟 必须t 3 x t 所以A x t 3 x t 据几何概率公式得P A 0 6 评析 1 把所求问题归结到x轴上的一个区间内是解题的关键 然后寻找事件A发生的区域 从而求得 A 2 本题也可这样理解 乘客在时间段 0 5 内任意时刻到达 等待不超过3分钟 则到达的时间在区间 2 5 内 图3 4 3 6 在两端相距6m的木杆上系一根绳子 并在绳子上挂一盏灯 则灯与两端距离都大于2m的概率是多少 解 灯挂在绳子上的每一个位置都是一个基本事件 即整个区域的几何度量为 6m 记 灯与两端距离都大于2m 为事件A 则把木杆三等分 当绳子挂在中间一段上时 事件A发生 即 A 2m 所以由几何概型的概率公式 得P A 7 学点二与面积有关的几何概型的求法 1 甲 乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时 假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达 试求这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率 分析 本题考查与面积有关的几何概型的求法 解析 设A 两艘船中至少有一艘停靠时等待 建立平面直角坐标系如图3 4 4 x轴表示甲船到达的时间 y轴表示乙船到达的时间 则 x y 表示的所有结果是以24为边长的正方形 图3 4 4 8 事件A发生的条件是0 x y 6或0 y x 6 即图中阴影部分 则 242 A 242 182 P A 即这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率是 评析 1 甲 乙两船都是在0 54小时内的任一时刻停靠 故每一个结果对应两个时间 分别用x y轴上的数表示 则每一个结果 x y 就对应于图中正方形内的任一点 2 找出事件A发生的条件 并把它在图中的区域找出来 分别计算面积即可 3 这一类问题我们称为约会问题 9 2 设有一等边三角形网格 其中各个最小等边三角形的边长都是cm 现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上 求硬币落下后与格线没有公共点的概率 分析 考查几何概型中与面积有关的问题 解析 记A 硬币落下后与格线没有公共点 如图3 4 5所示 在等边三角形内作小等边三角形 使其三边与原等边三角形三边距离都为1 则等边三角形的边长为 由几何概型得概率为两三角形面积的比 即由概率 图3 4 5 10 的公式得P A 评析 求出面积是解题关键 11 甲 乙两人约定在6时到7时之间在某处会面 并约定先到者应等候另一个人一刻钟 过时即可离去 求两人能够会面的概率 解 按照约定 两人在6点到7点之间任何时刻到达会面点是等可能的 因此是一个几何概型 设甲 乙两人到达的时间为x y 则 x y 15是能够会面的先决条件 以x和y分别表示甲 乙两人到达约会地点的时间 则两人能够会面的充要条件是 x y 15 12 在平面上建立直角坐标系如图 则 x y 的所有可能结果是边长为60的正方形 而可能会面的时间用图中的阴影部分表示 这是一个几何概型问题 由等可能性知P A 答 甲 乙两人能够会面的概率是 13 学点三与体积有关的几何概型的求法 在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子 从中随机取出10毫升 则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少 分析 本题考查与体积有关的几何概型 解析 设A 取出10毫升种子 含有病种子 则 1000毫升 A 10毫升 P A 即取出种子中含麦锈病的种子的概率是0 01 14 评析 1 病种子在这1升种子中的分布可以看作是随机的 有无限个结果 并且是等可能的 是几何概型 取得的10毫升种子可看作构成事件的区域 1升种子可看作是试验的所有结果构成的区域 2 要注意使用 几何概型 的条件 15 如图3 4 7所示 有一杯2升的水 其中含有一个细菌 用一个小杯从这杯水中取出0 1升水 求小杯水中含有这个细菌的概率 解 设A 小杯水中含有这个细菌 则 2升 A 0 1升 P A 图3 4 7 16 学点四与角度有关的几何概型的求法 如图3 4 8 在等腰Rt ABC中 过直角顶点C在 ACB内部作一射线CM 与线段AB交于点M 求AM AC的概率 分析 考查与角度有关的几何概型的求法 图3 4 8 解析 在AB上取AC AC 则 ACC 67 5 设A 在 ACB内部作一条射线CM 与线段AB交于点M AM AC 则 90 A 67 5 P A 17 评析 1 射线CM随机地落在 ACB内部 故 ACB为所有试验结果构成的区域 当射线CM落在 ACC 内部时AM AC 故 ACC 为构成事件的区域 2 事件区域是角域 可用角度刻画 18 若题目改为 在等腰Rt ABC中 在斜边AB上取一点M 求AM AC的概率 答案一样吗 解 在AB上截取AC AC AC 设A 在斜边AB上取一点M AM AC 则 AB A P A 故不一样 19 学点五用随机数模拟法估算几何概率 取一根长度为3m的绳子 拉直后在任意位置剪断 用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1m的概率有多大 分析 在任意位置剪断绳子 则剪断位置到一端点的距离取遍 0 3 内的任意实数 并且每一个实数被取到的可能性相等 因此在任意位置剪断绳子的所有结果 即基本事件 对应 0 3 上的均匀随机数 其中 1 2 上的均匀随机数就表示剪断位置与端点的距离在 1 2 内 也就是剪得两段的长都不小于1m 这样取得的 1 2 内的随机数个数与 0 3 内的随机数个数之比就是事件A发生的频率 20 解析 记事件A 剪得两段的长都不小于1m 1 利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1 RAND 2 经过伸缩变换 a a1 3 3 统计出试验总次数N和 1 2 内的随机数个数N1 4 计算频率fn A N1 N即为概率P A 的近似值 评析 用随机模拟法估算几何概率的关键是把事件A及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围 21 甲 乙两辆货车停靠站台卸货的时间分别是6小时和4小时 用随机模拟法估算有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间的概率 解 记事件A 有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间 1 利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数 x1 RAND y1 RAND 22 2 经过伸缩变换 x x1 24 y y1 24得到两组 0 24 上的均匀随机数 3 统计出试验总次数N和满足条件 4 x y 6的点 x y 的个数N1 4 计算频率fn A 即为概率P A 的近似值 23 学点六用随机数模拟法近似计算不规则图形的面积 利用随机模拟的方法近似计算图形 如图3 4 9所示 中阴影部分的面积 y x2 1与y 6所围成区域的面积 分析 在坐标系中画出矩形 x x y 1和y 6所围成的部分 用随机模拟的方法可以得到阴影部分的面积的近似值 图3 4 9 24 解析 1 利用计算器或计算机产生两组0至1之间的均匀随机数 a1 RAND b1 RAND 2 进行平移和伸缩变换 a a1 0 5 2 b 5 b1 1 3 数出落在阴影内的样本点数N1 总试验次数为N 用几何概型公式计算阴影部分的面积为S 多做几次试验 得到的面积会更精确 评析 要记住公式 其中N为总的试验次数 N1为落在不规则图形内的试验次数 25 利用随机方法计算如图3 4 10中阴影部分 曲线y 2x与x轴 x 1围成的部分 的面积 解 1 利用计算机产生两组 0 1 上的均匀随机数 a1 RAND b1 RAND 2 进行平移和伸缩变换 a a1 0 5 2 b b1 2 得到一组 1 1 上的均匀随机数和一组 0 2 上的均匀随机数 图3 4 10 26 3 统计试验总数N和落在阴影内的点数N1 满足条件b 2a的点 a b 数 4 计算频率 即为点落在阴影部分的概率的近似值 5 用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P 即为阴影部分面积的近似值 27 1 几何概型的两个特点 一是无限性 即在一次试验中 基本事件的个数可以是无限的 二是等可能性 即每一基本事件发生的可能性是均等的 因此 用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的 同属于 比例解法 即随机事件A的概率可以用 事件A包含的基本事件所占的图形面积 体积 长度 与 试验的基本事件空间所占总面积 总体积 长度 之比来表示 2 基本事件的 等可能性 的判断很容易被忽略 从而导致各种错误 1 如何理解几何概型 28 2 随机数是如何产生的 如何理解随机模拟试验 1 随机数的产生利用计算器或计算机产生 0 1 上的均匀随机数x1 RAND 然后利用伸缩和平移变换 x x1 b a a 就可以得到 a b 内的均匀随机数 试验的结果是 a b 上的任何一个实数 并且任何一个实数都是等可能出现的 2 随机模拟试验用频率估计概率时 需做大量的重复试验 费时费力 并且有些试验具有破坏性 有些试验无法进行 因而随机模拟试验就成为一种重要的方法 它可以在短时间内多次重复 用计算器或计算机模拟试验 首先需要把实际问题转化为可 29 以用随机数来模拟试验结果的概率模型 也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量 我们可以从以下几个方面考虑 由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数 如长度型 角度型 一维 只用一组 面积型 二维 需要用两组 由所有基本事件总体 基本事件空间 对应区域确定产生随机数的范围 由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式 3 随机模拟的基本思想是用频率近似于概率 频率可由试验获得 30 对于一个具体问题 能否应用几何概率公式计算事件的概率 关键在于