组合杂题的故事大字.doc

组合杂题的故事一、组合杂题1已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值若九个内角中有一个角等于120，试求常数的值解：九个内角中任意选5个，记为x1，x2，x3，x4，x5，余下4个记为y1，y2，y3，y4，由题意，sinx1sinx2sinx3sinx4sinx5cosy1cosy2cosy3cosy4，且siny1sinx2sinx3sinx4sinx5cosx1cosy2cosy3cosy4，所以 sinx1cosy1siny1cosx1，即sinx1cosx1siny1cosy1，所以 sin(x145)sin(y145)，又0x1，y1180，则 y1x1 或y145180(x145)，即y1270x1设y1120，x1任意，或x1120，y1任意，可知九个角的度数只有两种，120和150， 设有k个120，9k个150，则k120(9k)150(92)180，所以 k3，所以5sin150cos1503cos1201 ABCB1+DD1EC1E1A12如图已知五边形A1B1C1D1E1内接于边长为1的正五边形ABCDE，求证：五边形A1B1C1D1E1中至少有一条边长度不小于cos证：假定所有五条边都小于cos，如图B1CC 1中，ABCB1+DD1EC1E1A1cuvcos2c2= x2+y22xycos=x2+y2+2xycos=(x+y)22xy(1cos)=(x+y)24xysin2(x+y)2(x+y)2sin2=(x+y)2cos2，即x+y1，由此可以推得正五边形的周长小于5，与题设矛盾3已知一凸n边形的任意相邻两个内角的差都是20试求n的最大值(2014年江苏)解：(1)证明n为偶数记凸n边形为A1A2An，则A2A120，A3A220A12020，AkA12012020A1pk20qk20，其中pk为“”号的个数，qk为“”的个数，且pkqkk1令kn1，即知An+1A1pn+120qn+120A1pn+120(npn+1)20A1，得pn+1npn+1，即n2pn+1，所以n为偶数 (2)证明n34设n个内角中最大的为x，则所有内角中至少还应包括另一角x20，且所有内角中任意相邻的两角不相同，且其和不超过2x20，即平均不超过x10，故有(n2)180A1A2Ann(x10)，nx(n2)180n10因为x180，所以n180nx(n2)180n10，从而n36，又因为n为偶数，所以n34 (3)证明n=34能取到不妨设凸34边形内角中只有两个值x和x20，它们相间出现，各为一半，有17(2x20)32180，x180x200，知存在满足条件的凸34边形由(1)(2)(3)可知，n的最大值为34二、组合概念简述组合：把一些对象(元素)按要求构成整体(集合)叫做组合大多数杂题均可以归结为组合问题组合问题：(1)存在性问题；(2)构造方法；(3)计数问题；(4)最优化问题研究思路：基础知识；基本常识；基本原理；常规方法难点：解题思路的探求；情境转化推理论证的表述三、组合试题的故事1任意六个人，他们每两个人之间要么相互认识，要么相互不认识证明：(1)必定存在三个人，他们之间两两都认识或者两两都不认识；(2)必定存在两个三人组，每个三人组中，两两都认识或者两两都不认识2对平面上的每个点染红色或蓝色证明：存在同色的三个点构成的三角形，其三边长分别为1，2，(泰国2013) CBDOAFEBADGABCFEDG3平面上每个点染红色或蓝色证明：存在两个三角形相似，相似比为2015，且每个三角形三个顶点同色4在正n边形的每个顶点上各停有一只喜鹊偶受惊吓，众喜鹊都飞去一段时间后，它们又都回到这些顶点上，仍是每个顶点上一只，但未必都回到原来的顶点求所有正整数n，使得一定存在3只喜鹊，以它们前后所在的顶点分别形成的三角形或同为锐角三角形，或同为直角三角形，或同为钝角三角形5男女学生共n人围坐一圆桌，规定相邻为同性时两人中间插一枝红花，异性时两人中间插一枝蓝花结果发现所插红花与蓝花数目一样证明：n一定是4的倍数 分析： 先走一步，简化问题，设红花k枝，则蓝花k枝，人和花一样多，n=2k； 6S是由在同一条直线上6n个点构成的一个集合，随机地选择其中的4n个点染成蓝色，其余2n个染成绿色证明：存在一条线段，使其包含S中的3n个点，其中2n个点位蓝色，n个点为绿色 四、阅读例将每一个整数染成红色或蓝色已知对于任意一个有限的连续整数集A，红色整数个数与蓝色整数个数之差的绝对值不大于1000证明：存在一个满足上述条件且由2000个连续整数组成的集合A，使得红色整数和蓝色整数各1000个(意大利2013)分析：每一个整数都染色了，且对于任意有限的连续整数集A，红色整数个数与蓝色整数个数之差的绝对值不大于1000 数集1，2，3，2000中红色的数r1个，蓝色的数b1个，|r1b1|1000，我们关心有没有b1=1000？r1=1000？ 数集2，3，2000，2001中红色的数r2个，蓝色的数b2个，|r2b2|1000；我们关心有没有b2=1000？r2=1000？数集3，4，2001，2002中红色的数r3个，蓝色的数b3个，|r3b3|1000；我们关心有没有b3=1000？r3=1000？数集k，k+1，k+2，k+3，k+1999中红色的数rk个，蓝色的数bk个，|rkbk|1000；证明存在bk=1000！rk=1000！个体中无线索，整体观察有玄机！解：设数集k，k+1，k+2，k+3，k+1999中红色的数恰有rk个，若r1=1000，则数集1，2，3，2000即为所求；若r11000，则r1999，假定rk999，k=1,2,，1000001，则r1+ r2001+ r4001+ r1000001999501，在数集1，2，3，1002000中，蓝色的数与红色的数之差d10020002999501=1002，与题设矛盾 即当k=2,3,，1000001时，存在rk1000设rj+1是r1，r2，r1000001中从左到右第一个不小于1000的红色数个数，即rj999，rj+11000，注意到rj是数集j，j+1，j+2，j+3，j+1999中红色的数的个数，rj+1是数集j+1，j+2，j+3，j+1999，j+2000中红色的数的个数， 若j，j+2000同色，rj= rj+1，不合；若j红，j+2000蓝，rj+1= rj1，不合； 惟有当j蓝，j+2000红，rj+1= rj+1可能，此时rj=999，rj+1=1000，即数集j+1，j+2，j+3，j+1999，j+2000中红色数的个数与蓝色数的个数均为1000五、参考1设集合S=1，2，3，2014，从S中最多能选出多少个数，可以使得其中任意两个数的和不能被它们的差整除？ AmAk10A1B1BkBm2已知平面上10个圆，任意两个都相交是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论3在边长为1的正方形内放入有限个圆(圆与圆之间可以有重叠)，所有圆的周长之和为10 证明：存在一条直线至少与4个圆相交或相切4将2007个整数放在一个圆周上，使得任意相邻的5个数中有三个的和等于另两个数的和的两倍 证明：这2007个数都是0(2007年白俄罗斯) 5在一张矩形纸上画有一个圆米老鼠在圆内选中了n个点(但不在纸上标注出来)，称为“米氏点”唐老鸭试图猜出这n个“米氏点”在每一次尝试中，唐老鸭(在圆内或圆外)指出一个点，米老鼠则告诉他，该点离最近的尚未被猜出的“米氏点”的距离是多少如果该距离为0，则算他猜中一个“米氏点”唐老鸭会在纸上标注点，会累加距离，还会运用圆规和直尺(有刻度)作图试问，唐老鸭是否一定可在少于(n+1)2次尝试后，猜出所有“米氏点”?6如图，圆形的水池被分割为2n(n5)个“格子”我们把有公共隔墙(公共边或公共弧