17.2.勾股定理的逆定理 1 2 ppt课件

人教版义务教育教科书数学八年级下册 第十七勾股定理ppt 寒葱沟镇中学孙元成2015 3 19 17 2 1勾股定理的逆定理 1 本课在学习勾股定理的基础上 研究当三角形中两边的平方和等于第三边的平方时 这个三角形是否为直角三角形 在研究过程中 介绍了逆命题 逆定理的概念 课件说明 学习目标 1 理解勾股定理的逆定理 经历 观察 测量 猜想 论证 的定理探究的过程 体会 构造法 证明数学命题的基本思想 2 了解逆命题的概念 知道原命题为真命题 它的逆命题不一定为真命题 学习重点 探索并证明勾股定理的逆定理 课件说明 勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a b 斜边长为c 那么a2 b2 c2 题设 条件 直角三角形的两直角边长为a b 斜边长为c 结论 a2 b2 c2 问题1回忆勾股定理的内容 形 数 回忆旧知再次梳理 温故知新 勾股定理 如果直角三角形的两直角边为a b 斜边长为c 那么a2 b2 c2 反过来 如果一个三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形的形状怎样 思考 逆向思考提出问题 思考如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是否是直角三角形 逆向思考提出问题 据说 古埃及人曾用下面的方法画直角 把一根长绳打上等距离的13个结 然后以3个结间距 4个结间距 5个结间距的长度为边长 用木桩钉成一个三角形 其中一个角便是直角 你认为结论正确吗 实验操作 1 画一画 下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方 分别以这些数为边长画出三角形 单位 cm 它们是直角三角形吗 2 5 6 6 5 6 8 10 2 量一量 用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数 3 想一想 请判断这些三角形的形状 并提出猜想 精确验证提出猜想 已知 如图 ABC的三边长a b c 满足a2 b2 c2 求证 ABC是直角三角形 三角形全等 逻辑推理证明结论 a C 900 A B 2 a2 b2 a2 b2 c2 A B 2 c2 A B c 边长取正值 ABC A B C SSS C C 全等三角形对应角相等 C 900 已知 在 ABC中 AB cBC aCA b且a2 b2 c2 求证 ABC是直角三角形 证明 画一个 A B C 使 C 900 B C a C A b 在 ABC和 A B C 中 ABC是直角三角形 直角三角形的定义 勾股定理的逆命题证明 作用 判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形 演绎推理形成定理 定理 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 例1判断由线段a b c组成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 17 c 8 2 a 13 b 15 c 14 3 a b 4 c 5 直接运用巩固知识 分析 根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方 解 1 152 82 225 64 289 172 289 152 82 172 以15 8 17为边长的三角形是直角三角形 例1判断由线段a b c组成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 17 c 8 2 a 13 b 15 c 14 3 a b 4 c 5 直接运用巩固知识 像15 17 8这样 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 称为勾股数 分析 根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方 勾股定理的逆定理 定理 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 两个命题的题设与结论正好相反 像这样的两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个命题叫做原命题 那么另一个命题叫做它的逆命题 阶段小结适时梳理 勾股定理的逆命题 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a b 斜边为c 那么a2 b2 c2 直接运用巩固知识 说出下列命题的逆命题 这些命题的逆命题是真命题吗 1 两条直线平行 内错角相等 逆命题 内错角相等 两直线平行 真命题 2 对顶角相等 逆命题 相等的角是对顶角 假命题 3 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 逆命题 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 真命题 随堂练习 1 将下列长度的三木棒首尾顺次连接 能组成直角三角形的是 A 1 2 3 B 4 6 8 C 5 5 4 D 15 12 9 2 如果线段a b c能组成直角三角形 则它们的比可能是 A 3 4 7 B 5 12 13 C 1 2 4 D 1 3 5 D B 三角形的三边分别是a b c 且满足 a b 2 c2 2ab 则此三角形是 A 直角三角形 B 是锐角三角形 是钝角三角形 D 是等腰直角三角形 A 4 一个零件的形状如下图所示 按规定这个零件中 A和 DBC都应为直角 工人师傅量出了这个零件各边尺寸 那么这个零件符合要求吗 此时四边形ABCD的面积是多少 5 已知a b c为 ABC的三边 且满足a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 试判断 ABC的形状 6 ABC三边a b c为边向外作正方形 正三角形 以三边为直径作半圆 若S1 S2 S3成立 则 是直角三角形吗 A C a b c S1 S2 S3 B A B C a b c S1 S2 S3 活动2 范例讲解 例7 判断由线段a b c组成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 8 c 17 2 a m2 n2 b m2 n2 c 2mn m n m n是正整数 解 1 a2 225 b2 64 c2 289又 225 64 289 a2 b2 c2即 三角形是直角三角形 2 a2 m2 n2 2 m4 2m2n2 n4 b2 m2 n2 2 m4 2m2n2 n4 c2 2mn 2 4m2n2又 m4 2m2n2 n4 4m2n2 m4 2m2n2 n4 a2 c2 b2即 三角形是直角三角形 知识运用 8如图 在正方形ABCD中 E是BC的中点 F是CD上一点 且CF CD 猜想 AEF的形状 并证明你的结论 解 AEF是直角三角形 理由 设正方形ABCD的边长是a 则 9 台风是一种自然灾害 它以台风中心为圆心 在周围数十千米的范围内形成气旋风暴 有极强的破坏力 如图所示 据气象部门报道 距沿海城市A的正南方向220千米B处有一个台风中心 其中心最大风力12级 距离台风中心20千米 风力会减弱一级 该台风正以15km h的速度沿北偏东30 方向往C处移动 且台风中心风力不变 若城市所受风力达到或超过四级 则称受到台风影响 1 该城市是否会受到此次台风的影响 请说明理由 2 若受到影响 那么台风影响该城市的持续时间为多长 3 该城市受到台风影响的最大风力为几级 思考题 10 已知a b c为 ABC的三边 且满足a2c2 b2c2 a4 b4 试判断 ABC的形状 解 a2c2 b2c2 a4 b4 1 c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 2 c2 a2 b2 3 ABC是直角三角形问 1 上述解题过程 从哪一步开始出现错误 请写出该步的代号 2 错误原因是 3 本题正确的结论是 3 a2 b2可能是0 直角三角形或等腰三角形 11 如图 在 ABC中 AB 13 BC 10 BC边上的中线AD 12 求证 AB AC 证明 AD是BC边上的中线 BD CD 1 2BC 5 在 ABD中 AB 13 BD 5 AD 12 BD2 AD2 52 122 169 AB2 ABD是直角三角形 ACD也是直角三角形 根据勾股定理得到 AB AC 13 判定一个三角形是直角三角形的方法 角 有一个角是直角的三角形是直角三角形 边 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 1 2勾股定理的逆定理 2 互逆命题 两个命题中 如果它们的题设 结论正好相反 那么这两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个叫做原命题 那么另一个叫做它的逆命题 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的 那么它也是一个定理 称这两个定理叫做互逆定理 其中一个叫做另一个的逆定理 知识回顾 1 两条直线平行 内错角相等 2 如果两个实数相等 那么它们的平方相等 3 如果两个实数相等 那么它们的绝对值相等 4 全等三角形的对应角相等 说出下列命题的逆命题 这些命题的逆命题成立吗 逆命题 内错角相等 两条直线平行 成立 逆命题 如果两个实数的平方相等 那么这两个实数相等 不成立 逆命题 如果两个实数的绝对值相等 那么这两个实数相等 不成立 逆命题 对应角相等的两个三角形是全等三角形 不成立 感悟 原命题成立时 逆命题有时成立 有时不成立 一个命题是真命题 它的逆命题却不一定是真命题 勾股定理 直角三角形的两直角边为a b 斜边为c 则有a2 b2 c2勾股定理的逆定理 若三角形的三边a b c满足a2 b2 c2 则这个三角形是直角三角形 较大边c所对的角是直角 知识回顾 例1判断由a b c组成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 8 c 17 2 a 13 b 15 c 14 分析 由勾股定理的逆定理 判断三角形是不是直角三角形 只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方 解 152 82 225 64 289172 289 152 82 172 这个三角形是直角三角形 下面以a b c为边长的三角形是不是直角三角形 如果是那么哪一个角是直角 1 a 25b 20c 15 2 a 13b 14c 15 4 a b c 3 4 5 是 是 不是 是 A 900 B 900 C 900 3 a 1b 2c 像25 20 15 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 称为勾股数 B A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等边三角形 1 2 已知 如图 四边形ABCD中 B 900 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 求四边形ABCD的面积 S四边形ABCD 36 1 长度分别为3 4 5 12 13的五根木棒能搭成 首尾连接 直角三角形的个数为 A1个B2个C3个D4个 B A 复习与巩固 3 三角形的三边长a b c满足 a b 2 c2 2ab 则这个三角形是 A等边三角形B钝角三角形C直角三角形D锐角三角形 C 1 已知三角形的三边长为9 12 15 则这个三角形的最大角是 度 2 ABC的三边长为9 40 41 则 ABC的面积为 90 180 3 三角形的三边长为8 15 17 那么最短边上的高为 4 若 ABC中 AB 5 BC 12 AC 13 则AC边上的高长为 15 60 13 5 在Rt ABC中 斜边AB 1 则AB2 BC2 CA2 6 在Rt ABC中 C 90 CD是高 AB 1 则2CD2 AD2 BD2 7 等腰三角形ABC中 若AB AC 10 BC 6 则 ABC的面积为 8 三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 此三角形为 三角形 9 如果一个三角形的三边为a b c满足a2 c2 b2 那么这个三角形是 三角形 其中b边是 边 b边所对的角是 角 直角 斜 直 10工人师傅想要检测一扇小门两边AB CD是否垂直于底边BC 但他只带了一把卷尺 你能替工人师傅想办法完成任务吗 12 如图 有一块地 已知 AD 4m CD 3m ADC 90 AB 13m BC 12m 求这块地的面积 24平方米 例1 某港口位于东西方向的海岸线上 远航 号 海天 号轮船同时离开港口 各自沿一固定方向航行 远航 号每小时航行16海里 海天 号每小时航行12海里 它们离开港口一个半小时后相距30海里 如果知道 远航 号沿东北方向航行 能知道 海天 号沿哪个方向航行吗 例2 如图 点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心 在森林公园附近有B C两个村庄 现要在B C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通 经测得AB 600m AC 800m 问此公路是否会穿过该森林公园 请通过计算说明 400 1000 D 应用拓展 1 如图 边长为4的正方形ABCD中 F是DC的中点 且CE BC 则AF EF 试说明理由 解 连接AE ABCD是正方形 边长是4 F是DC的中点 EC 1 4B