华东师大版八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.3正方形第2课时

19 3正方形第2课时 1 正方形的常用判定方法 重点 2 正方形与矩形 菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用 难点 一 正方形的判定 1 有一个角是 的 为正方形 2 有一组邻边 的 是正方形 二 平行四边形 矩形 菱形 正方形的关系 直角 菱形 相等 矩形 正方形 打 或 1 一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 2 两条对角线垂直平分的矩形是正方形 3 有一个角是直角的平行四边形是正方形 4 对角线垂直且相等的四边形是正方形 知识点正方形的判定 例 2013 南京中考 如图 在四边形ABCD中 AB BC 对角线BD平分 ABC P是BD上一点 过点P作PM AD PN CD 垂足分别为M N 1 求证 ADB CDB 2 若 ADC 90 求证 四边形MPND是正方形 思路点拨 1 BD平分 ABC AB BC ABD CBD 结论 2 PM AD PN CD ADC 90 四边形MPND是矩形 由角平分线的性质 PM PN 结论 自主解答 1 BD平分 ABC ABD CBD 又 BA BC BD BD ABD CBD ADB CDB 2 PM AD PN CD PMD PND 90 又 ADC 90 四边形MPND是矩形 ADB CDB PM AD PN CD PM PN 矩形MPND是正方形 总结提升 判定正方形的三步法 1 先证明它是平行四边形 2 再证明有一组邻边相等 或一个角是直角 3 最后证明它有一个角是直角 或有一组邻边相等 题组 正方形的判定1 下列说法不正确的是 A 有一个角是直角的菱形是正方形B 两条对角线相等的菱形是正方形C 对角线互相垂直的矩形是正方形D 四条边都相等的四边形是正方形 解析 选D 四条边都相等的四边形是菱形 不一定是正方形 A B C选项均符合正方形的判定 是正方形 2 如图 在四边形ABCD中 AB BC CD DA 对角线AC与BD相交于点O 若不增加任何字母与辅助线 要使四边形ABCD是正方形 则还需增加一个条件是 解析 在四边形ABCD中 AB BC CD DA 四边形ABCD是菱形 要使菱形ABCD是正方形 则还需增加一个条件可以是AC BD或AB BC 答案 AC BD 答案不唯一 3 如图 点O是线段AB上的一点 OA OC OD平分 AOC交AC于点D OF平分 COB CF OF于点F 1 求证 四边形CDOF是矩形 2 当 AOC为多少度时 四边形CDOF是正方形 并说明理由 解析 1 OD平分 AOC OF平分 COB AOC 2 COD COB 2 COF AOC BOC 180 2 COD 2 COF 180 COD COF 90 DOF 90 OA OC OD平分 AOC OD AC AD DC CDO 90 CF OF CFO 90 四边形CDOF是矩形 2 当 AOC 90 时 四边形CDOF是正方形 理由如下 AOC 90 AD DC OD DC 又由 1 知四边形CDOF是矩形 则矩形CDOF是正方形 因此 当 AOC 90 时 四边形CDOF是正方形 4 如图所示 点D是线段AB的中点 点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点 DE AC于点E DF BC于点F 1 求证 CE CF 2 点C运动到什么位置时 四边形CEDF成为正方形 说明理由 解析 1 CD垂直平分AB ADC BDC DCA DCB DE AC DF BC 在Rt DEC和Rt DFC中 DCE DCF DEC DFC 90 DC DC Rt DEC Rt DFC CE CF 2 当CD AB时 四边形CEDF为正方形 证明 当CD AB时 DA DB AB DA DC DC DB ADC和 BDC均为等腰直角三角形 A ACD B DCB 45 ECF 45 45 90 DE AC DF BC 四边形CEDF为矩形 CE CF 四边形CEDF