两个基本计数原理-PPT精品.ppt

1 1两个基本计数原理 高二数学备课组 世界杯足球赛共有32个队参赛 它们先分成8个小组进行循环赛 决出16强 这16个队按确定的程序进行淘汰赛后 最后决出冠亚军 此外还决出了第三 第四名 问一共安排了多少场比赛 前4名有多少不同的结果 实际问题 要回答这个问题 就要用到排列 组合的知识 在运用排列 组合方法时 经常要用到分类计数原理与分步计数原理 问题1 从甲地到乙地 有3条公路 2条铁路 某人要从甲地到乙地 共有多少种不同的走法 问题2 从甲地到乙地 有3条道路 从乙地到丙地有2条道路 那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法 你能说出这两个问题有什么区别吗 问题1 从甲地到乙地 有3条公路 2条铁路 某人要从甲地到乙地 共有多少种不同的走法 因为每一种走法都能完成从甲地到乙地这件事 有3条公路 2条铁路 所以共有 3 2 5 种 甲地 乙地 一 分类计数原理 完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类方法中有m2种不同的方法 在第n类方法中有mn种不同的方法 则完成这件事共有 2 首先要根据具体的问题确定一个分类标准 在分类标准下进行分类 然后对每类方法计数 1 各类办法之间相互独立 都能独立的完成这件事 要计算方法种数 只需将各类方法数相加 因此分类计数原理又称加法原理 说明 N m1 m2 mn种不同的方法 问题2 从甲地到乙地 有3条道路 从乙地到丙地有2条道路 那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法 这个问题与前一个问题不同 在这个问题中 必须经过先从甲地到乙地 再从乙地到丙地两个步骤 才能从甲地到丙地 因为从甲地到乙地有3种走法 从乙地到丙地有2种走法 所以从甲地到丙地 共有不同的走法 3 2 6 种 甲地 乙地 丙地 二 分步计数原理 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 则完成这件事共有 2 首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准 然后对每步方法计数 1 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数 又称乘法原理 说明 N m1 m2 mn种不同的方法 例1 书架第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育书 1 从书架中取1本书 有多少种不同取法 有3类方法 根据分类加法计数原理 N 4 3 2 9 2 从书架第1 2 3层各取1本书 有多少种不同取法 分3步完成 根据分步乘法计数原理 N 4 3 2 24 解题关键 从总体上看做这件事情是 分类完成 还是 分步完成 再根据其对应的计数原理计算 学案P46 1 练习 要从甲 乙 丙3幅不同的画中选出2幅 分别挂在左 右两边墙上的指定位置 问共有多少种不同的挂法 分两步完成 左边 右边 甲 乙 丙 3 2 第一步 第二步 学案P46 2 A B 该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电 分类完成 分步完成 解 从总体上看由A到B的通电线路可分二类 第一类 m1 4条第二类 m3 2 2 4 条所以 根据加法原理 从A到B共有N 4 4 8条不同的线路可通电 点评 乘法原理看成 串联电路 加法原理看成 并联电路 如图 从甲地到乙地有2条路可通 从乙地到丙地有3条路可通 从甲地到丁地有4条路可通 从丁地到丙地有2条路可通 从甲地到丙地共有多少种不同的走法 练习 学案P47 s4 解 从总体上看 由甲到丙有两类不同的走法 第一类 由甲经乙去丙 又需分两步 所以m1 2 3 6种不同的走法 第二类 由甲经丁去丙 也需分两步 所以m2 4 2 8种不同的走法 所以从甲地到丙地共有N 6 8 14种不同的走法 问题3 加法原理和乘法原理的共同点是什么 不同点什么 问题4 何时用加法原理 乘法原理呢 加法原理 完成一件事情有n类方法 若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 乘法原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成互相独立的这n步后 才能完成这件事 分类要做到 不重不漏 分步要做到 步骤完整 练习 三个比赛项目 六人报名参加 每人参加一项有多少种不同的方法 每项 人 且每人至多参加一项 有多少种不同的方法 每项 人 每人参加的项数不限 有多少种不同的方法 例1用0 1 2 3 4 5这六个数字 1 可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数 2 可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数 3 可以组成多少个大于3000 小于5421且各位数字不允许重复的四位数 一 排数字问题 二 映射个数问题 例2设A a b c d e f B x y z 从A到B共有多少种不同的映射 三 染色问题 例3有n种不同颜色为下列两块广告牌着色 要求在 四个区域中相邻 有公共边界 区域中不用同一种颜色 1 若n 6 为 1 着色时共有多少种方法 2 若为 2 着色时共有120种不同方法 求n 1 2 如图 要给地图A B C D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 解 按地图A B C D四个区域依次分四步完成 第一步 m1 3种 第二步 m2 2种 第三步 m3 1种 第四步 m4 1种 所以根据乘法原理 得到不同的涂色方案种数共有N 3 2 1 1 6种 如图 要给地图A B C D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 若用2色 4色 5色等 结果又怎样呢 答 它们的涂色方案种数分别是0 4 3 2 2 48 5 4 3 3 180种等 思考 分析 如图 A B C三个区域两两相邻 A与D不相邻 因此A B C三个区域的颜色两两不同 A D两个区域可以同色 也可以不同色 但D与B C不同色 由此可见我们需根据A与D同色与不同色分成两大类 解 先分成两类 第一类 D与A不同色 可分成四步完成 第一步涂A有5种方法 第二步涂B有4种方法 第三步涂C有3种方法 第四步涂D有2种方法 根据分步计数原理 共有5 4 3 2 120种方法 根据分类计数原理 共有120 60 180种方法 第二类 A D同色 分三步完成 第一步涂A和D有5种方法 第二步涂B有4种方法 第三步涂C有3种方法 根据分步计数原理 共有5 4 3 60种方法 5 将 种作物种植在如图所示的 块试验田里 每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物 不同的种植方法共有种 以数字作答 42 4 如图 是5个相同的正方形 用红 黄 蓝 白 黑5种颜色涂这些正方形 使每个正方形涂一种颜色 且相邻的正方形涂不同的颜色 如果颜色可反复使用 那么共有多少种涂色方法 四 子集问题 规律 n元集合的不同子集有个 例 集合A a b c d e 它的子集个数为 真子集个数为 非空子集个数为 非空真子集个数为 五 综合问题 例4若直线方程ax by 0中的a b可以从0 1 2 3 4这五个数字中任取两个不同的数字 则方程所表示的不同的直线共有多少条 例5 75600有多少个正约数 有多少个奇约数 解 由于75600 24 33 52 7 75600的每个约数都可以写成的形式 其中 于是 要确定75600的一个约数 可分四步完成 即i j k l分别在各自的范围内任取一个值 这样i有5种取法 j有4种取法 k有3种取法 l有2种取法 根据分步计数原理得约数的个数为5 4 3 2 120个 一个三位密码锁 各位上数字由0 1 2 3 4 5 6 7 8 9十个数字组成 可以设置多少种三位数的密码 各位上的数字允许重复 首位数字不为0的密码数是多少 首位数字是0的密码数又是多少 分析 按密码位数 从左到右依次设置第一位 第二位 第三位 需分为三步完成 第一步 m1 10 第二步 m2 10 第三步 m3 10 根据乘法原理 共可以设置N 10 10 10 103种三位数的密码 练习 首位数字不为0的密码数 首位数字是0的密码数 一个三位密码锁 各位上数字由0 1 2 3 4 5 6 7 8 9十个数字组成 可以设置多少种三位数的密码 各位上的数字允许重复 首位数字不为0的密码数是多少 首位数字是0的密码数又是多少 分析 按密码位数 从左到右依次设置第一位 第二位 第三位 需分为三步完成 第一步 m1 10 第二步 m2 10 第三步 m3 10 根据乘法原理 共可以设置N 10 10 10 103种三位数的密码 练习 变式训练 各位上的数字不允许重复又怎样 答 首位数字不为0的密码数是N 9 10 10 9 102种 首位数字是0的密码数是N 1 10 10 102种 由此可以看出 首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数 问 若设置四位 五位 六位 十位等密码 密码数分别有多少种 答 它们的密码种数依次是104 105 106 种 1 分类加法计数原理 完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法 2 分步乘法计数原理 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的