高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修11.ppt

2 3 2抛物线的简单几何性质 第二章 2 3抛物线 1 掌握抛物线的简单几何性质 2 能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一抛物线的几何性质 答案 x 0 x 0 y 0 y 0 0 0 e 1 知识点二焦点弦直线过抛物线y2 2px p 0 的焦点f 与抛物线交于a x1 y1 b x2 y2 两点 由抛物线的定义知 af x1 bf x2 故 ab 知识点三直线与抛物线的位置关系直线y kx b与抛物线y2 2px p 0 的交点个数决定于关于x的方程 的解的个数 当k 0时 若 0 则直线与抛物线有个不同的公共点 当 0时 直线与抛物线有个公共点 当 0时 直线与抛物线公共点 当k 0时 直线与抛物线的对称轴 此时直线与抛物线有个公共点 x1 x2 p k2x2 2 kb p x b2 0 两 一 没有 平行或重合 一 答案 返回 题型探究重点突破 解析答案 题型一抛物线的几何性质例1已知双曲线方程是 1 求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程 反思与感悟 反思与感悟 1 注意抛物线各元素间的关系 抛物线的焦点始终在对称轴上 抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点 抛物线的准线始终与对称轴垂直 抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称 2 解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中 通过定义的运用 实现两个距离之间的转化 简化解题过程 解析答案 跟踪训练1已知抛物线的对称轴在坐标轴上 以原点为顶点 且经过点m 1 2 求抛物线的标准方程和准线方程 解 1 当抛物线的焦点在x轴上时 将点m 1 2 代入 得m 4 2 当抛物线的焦点在y轴上时 设其标准方程为y2 mx m 0 抛物线的标准方程为y2 4x 设其标准方程为x2 ny n 0 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 所以直线ab的斜率存在 设为k 消去x 整理得ky2 2py kp2 0 解得k 2 反思与感悟 1 解决抛物线的焦点弦问题时 要注意抛物线定义在其中的应用 通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题 从而可借助根与系数的关系进行求解 2 设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论 解析答案 跟踪训练2已知直线l经过抛物线y2 6x的焦点f 且与抛物线相交于a b两点 1 若直线l的倾斜角为60 求 ab 的值 解因为直线l的倾斜角为60 若设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 5 x1 x2 p 所以 ab 5 3 8 解析答案 2 若 ab 9 求线段ab的中点m到准线的距离 解设a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 p x1 x2 3 所以x1 x2 6 于是线段ab的中点m的横坐标是3 解析答案 题型三直线与抛物线的位置关系例3已知直线l y kx 1 抛物线c y2 4x 当k为何值时 直线l与抛物线c有 1 一个公共点 2 两个公共点 3 没有公共点 反思与感悟 消去y 得k2x2 2k 4 x 1 0 当k 0时 方程 为一元二次方程 2k 4 2 4k2 当 0 即k 1且k 0时 直线l与抛物线c有两个公共点 此时直线l与抛物线c相交 当 0 即k 1时 直线l与抛物线c有一个公共点 此时直线l与抛物线c相切 解析答案 反思与感悟 当 1时 直线l与抛物线c没有公共点 此时直线l与抛物线c相离 综上所述 1 当k 1或k 0时 直线l与抛物线c有一个公共点 2 当k1时 直线l与抛物线c没有公共点 反思与感悟 反思与感悟 直线与抛物线交点的个数 等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数 注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况 解析答案 跟踪训练3如图 过抛物线y2 x上一点a 4 2 作倾斜角互补的两条直线ab ac交抛物线于b c两点 求证 直线bc的斜率是定值 解析答案 证明设kab k k 0 直线ab ac的倾斜角互补 kac k k 0 直线ab的方程是y k x 4 2 消去y后 整理得k2x2 8k2 4k 1 x 16k2 16k 4 0 a 4 2 b xb yb 是上述方程组的解 直线bc的斜率为定值 解析答案 返回 解后反思 例4已知顶点在原点 焦点在x轴上的抛物线被直线y 2x 1截得的弦长为 求抛物线的标准方程 思想方法 分类讨论思想的应用 解析答案 解后反思 分析由于抛物线的开口有两种可能性 向左或向右 其标准方程可以设为y2 2px p 0 或y2 2px p 0 解设直线和抛物线相交于点a x1 y1 b x2 y2 1 当抛物线开口向右时 消去y 得4x2 2p 4 x 1 0 解得p 2 负值舍去 或p 6 故抛物线的标准方程为y2 12x 解后反思 2 当抛物线开口向左时 设抛物线的标准方程为y2 2p1x p1 0 同理可得p1 2 此时所求抛物线的标准方程为y2 4x 综上所述 抛物线的标准方程为y2 4x或y2 12x 分类讨论思想在解决抛物线问题时经常用到 如对抛物线的开口方向进行讨论 对直线的斜率是否存在进行讨论 对判别式 的取值范围进行讨论等 返回 解后反思 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 以x轴为对称轴的抛物线的通径 过焦点且与对称轴垂直的弦 长为8 若抛物线的顶点在坐标原点 则其方程为 a y2 8xb y2 8xc y2 8x或y2 8xd x2 8y或x2 8y解析设抛物线y2 2px或y2 2px p 0 得 y p 2 y 2p 8 p 4 c 解析答案 2 若抛物线y2 x上一点p到准线的距离等于它到顶点的距离 则点p的坐标为 解析由题意知 点p到焦点f的距离等于它到顶点o的距离 因此点p在线段of的垂直平分线上 1 2 3 4 5 b 1 2 3 4 5 3 抛物线y 4x2上一点到直线y 4x 5的距离最短 则该点坐标为 解析答案 解析因为y 4x2与y 4x 5不相交 设与y 4x 5平行的直线方程为y 4x m 设此直线与抛物线相切 此时有 0 即 16 16m 0 m 1 c 解析答案 1 2 3 4 5 4 经过抛物线y2 2x的焦点且平行于直线3x 2y 5 0的直线l的方程是 a 6x 4y 3 0b 3x 2y 3 0c 2x 3y 2 0d 2x 3y 1 0解析设直线l的方程为3x 2y c 0 a 解析答案 1 2 3 4 5 5 已知直线x y 1 0与抛物线y ax2相切 则a 直线与抛物线相切 a 0且 1 4a 0 课堂小结 1 讨论抛物线的几何性质 一定要利用抛物线的标准方程 利用几何性质 也可以根据待定系数法求抛物线的方程 2 直线与抛物线的相交弦问题共有两类 一类是过焦点的弦 一类是不过焦点的弦 解决弦的问题 大多涉及到抛物线的弦长 弦的中点 弦的斜率 常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立 转化为关于x或y的一元二次方程 然后利用根与系数的关系 这样避免求交点 尤其是弦的中点问题 还应注意 点差法 的运用 3 判断