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初中数学十字相乘法因式分解初中数学十字相乘法因式分解 要点 一 一 型的因式分解型的因式分解 2 xpq xpq 特点是 1 二次项的系数是 1 2 常数项是两个数之积 3 一次项系数是常数 的两个因数之和 对这个式子先去括号 得到 pqxqpx 2 22 pqqxpxxpqqxpxx qxpxpxqpxx 因此 2 qxpxpqxqpx 利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是 1 的二次三项式分解因式 二 一般二次三项式二 一般二次三项式的分解因式的分解因式 2 axbxc 大家知道 大家知道 2 112212122 112 a xca xca a xa ca c xc c 反过来 就可得到 反过来 就可得到 2 12122 1121122 a a xa ca c xc ca xca xc 我们发现 二次项系数我们发现 二次项系数分解成分解成 常数项 常数项 分解成分解成 把 把写成写成a 12 a ac 1 2 c c 1212 a a c c 这里按斜线交叉相乘 再相加 就得到 这里按斜线交叉相乘 再相加 就得到 那么 那么就可以分就可以分 11 22 ac ac 122 1 a ca c 2 axbxc 解成解成 1122 a xca xc 这种借助画十字交叉线分解系数 从而将二次三项式分解因式的方法 叫做十字十字 相乘法 相乘法 典型例题典型例题 例 1 把下列各式分解因式 1 2 23 2 xx67 2 xx 分析 分析 1 的二次项的系数是 1 常数项 一次项系数 23 2 xx212 213 这是一个型式子 pqxqpx 2 2 的二次项系数是 1 常数项 一次项系数67 2 xx 6 1 6 7 1 这也是一个型式子 因此可用公式 6 pqxqpx 2 pqxqpx 2 x 分解以上两式 qxp 解 解 1 因为 并且 所以212 213 2 1 23 2 xxxx 2 因为 并且 所以 6 1 6 6 1 7 6 1 67 2 xxxx 例 2 把下列各式因式分解 1 2 2 2 xx152 2 xx 分析 分析 1 2 的二次项系数是 1 常数项 一次项系数 xx22 1 2 这是一个型式子 2 1 1 pqxqpx 2 2 的二次项系数是 1 常数项 一次项系数152 2 xx3 5 15 5 2 这也是一个型式子 3 pqxqpx 2 以上两题可用式子分解 2 qxpxpqxqpx 解 解 1 因为 并且 所以2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 xxxx 2 因为 并且 所以3 5 15 3 5 2 3 5 152 2 xxxx 注意 注意 1 当常数项是正数时 它分解成两个同号因数 它们和一次项系数的符号相 同 2 当常数项是负数时 它分解成两个异号因数 其中绝对值较大的因数和一次 项系数的符号相同 例 3 把下列各式因式分解 1 2 3 372 2 xx576 2 xx 22 865yxyx 解 解 1 12 3 372 2 xxxx 12 31 7 1 1 3 2 2 53 12 576 2 xxxx 53 12 713 5 2 3 45 2 865 22 yxyxyxyx y y 45 21 yyy6 2 5 4 1 例 4 将分解因式 40 3 2 yxyx 分析 分析 可将看成是一个字母 即 于是上式可化为二次项系yx ayx 403 2 aa 数是 1 常数 一次项系数 所以可用5 8 40 5 8 3 2 qpx x 式子分解 qxpxpq 解 解 因为 并且 所以5 8 40 5 8 3 40 3 2 yxyx 5 8 5 8 yxyxyxyx 例 5 把分解因式 2222 65xyxyx 分析 分析 多项式各项有公因式 第一步先提出各项公因式 得到 2 x 2 x 经分析它符合型式 65 65 222222 yyxxyxyx65 2 yypqyqpy 2 子 于是可继续分解 第二步 按型二次三项式分解 得到 pqyqpy 2 1 6 65 222 yyxyyx 解 解 1 6 65 65 2222222 yyxyyxxyxyx 例 6 将分解因式 xyyx1681 55 解 解 xyyx1681 55 49 49 1681 222244 yxyxxyyxxy 23 23 49 22 xyxyyxxy 注意 注意 多项式分解因式的一般步骤是 1 如果多项式各项有公因式 那么先提 出公因式 2 在各项提出公因式后 或各项没有公因式的情况下 可考虑运用公式 法 对于四项式多项式可以考虑运用分组分解法 3 要分解到每个多项式不能再分 解为止 模拟试题模拟试题 一 填空题 1 2 283 2 xx 22 352yxyx 7 yx 3 4 22 144320yxyx 74 yx 51918 2 xx 12 x 5 6 61135 22 mnnm 2 35116aa 7 65 2 xkx23 x k 8 则 25 74 1443 2 yxyxyxym m 9 则 5 74 4320 2 nxyxmxyx m n 10 分解因式 16 3 8 3 2242 xxxx 二 选择题 1 分解因式为 1610 2 xx A B C D 8 2 xx 8 2 xx 8 2 xx 8 2 xx 2 分解为 22 3013yxyx A B C D 10 3 yxyx 2 15 yxyx 3 10 yxyx 2 15 yxyx 3 把分解因式为 35296 2 xx A B C D 53 72 xx 52 73 xx 52 73 xx 53 72 xx 4 把分解因式为 222 44nmnmx A B 2 2 nmxnmx 2 2 nmxnmx C D 2 2 nmxnmx 2 2 nmxnmx 5 在下列二次三项式中 不是型式子的是 pqxqpx 2 A B C D 2012 2 xx1009 2 xx1413 2 xx529 2 xx 三 解答题 1 将下列各式因式分解 1 2 3 1 65 2 xx30 2 xx14430 2 xx 3 4 5 2 1118xx 2 2526aa 22 32xxyy 2 将下列各式因式分解 1 2 3 1718 24 mm 4224 2073yyxx 2 3145bb 4 5 6 2 23xx 2 257xx 2 321aa 3 因式分解 1 2 24 7 10 7 222 xxxx 2222224 2zyzyxx 4 已知 求的值 0284715 22 yxyx y x 5 已知 求的值06 22 baba0 a0 b b a a b 6 已知 求的值 02629 22 bababa32 试题答案试题答案 一 1 2 3 4 7 x4 xyx5 yx25 59 x 5 6 7 635 mn27 mna72 a53 32 x 8 9 10 2 20 x 2 14yy2 2222 23 2 1 xxxx 二 1 A 2 D 3 B 4 B 5 B 三 1 解 1 2 1 6 65 2 xxxx 5 6 30 2 xxxx 3 6 24 14430 2 xxxx 2 解 1 1 17 1718 1718 222424 mmmmmm 1 1 17 2 mmm 2 53 2 2 53 4 2073 2222224224 yxyxyxyxyxyyxx 3 2 2 2 2 4 82 82 2222435 xxxxxxxxxxxxx 3 解 1 73 52 356 356 222424 nnknnkkknkn aaaaaaaaa 2 54 12 8 1 5148 88 5 4 7 22 xxxxxx 4 解 1 27 127 24 7 10 7 22222 xxxxxxxx 27 4 3 2 xxxx 2 222222222222224 2zyxzyxzyzyxx 5 解 0284715 22 yxyx0 45 73 yxyx 或 当时 1 yx 3 7 yx 5 4 yx 3 7 3 7 3 7 y y y x 2 当时 5 4 xy 5 4 5 4 y y y x 6